ЕГЭ · Профильная математика · Статистика и вероятность

Случайные
величины.
Закон распределения.
Диаграмма Эйлера

Гордеев С.В. · 10–11 класс · gordeev-math.ru

Основные понятия

Случайная величина

Случайная величина — числовая характеристика результата случайного опыта. Она принимает различные значения, и заранее неизвестно, какое из них реализуется.

Обозначают: X, Y, ξ, η

Примеры

Число очков на кубике: X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Число орлов при 10 бросках монеты: X ∈ {0, 1, 2, …, 10}
Выигрыш в лотерее: X ∈ {0, 100, 1000, 5000} рублей
Результат на диаграмме Эйлера: X принимает конечный набор значений

В задачах ЕГЭ по статистике случайная величина X всегда задаётся явно — либо таблицей распределения, либо диаграммой Эйлера.

Теория

Закон распределения

Закон распределения случайной величины X — таблица, которая показывает, с какой вероятностью X принимает каждое из своих значений.

X	x₁	x₂	x₃	…	xₙ
P	p₁	p₂	p₃	…	pₙ

p₁ + p₂ + … + pₙ = 1

Сумма всех вероятностей равна 1. Это помогает найти неизвестное pᵢ или проверить ответ.

Пример

X	−5	1	2	3
P	0.3	0.2	0.3	0.2

Проверка: 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 1 ✓

Диаграмма Эйлера

Как читать диаграмму

Каждая точка — одно элементарное событие
Рядом указаны: значение X и вероятность этого события
Сумма всех вероятностей = 1

Два типа задач

Тип 1

Вероятности указаны явно (например, 0.1, 0.25…)
→ просто складываем нужные

Тип 2

«Все события равновозможны»
→ P(каждого) = 1/n, итог = m/n

Алгоритм решения

Как найти P(X > a)

Тип 1 — вероятности указаны

1

Определить, какие значения X удовлетворяют условию (X > a, X ≥ a, X = a)

2

Найти на диаграмме все точки с такими значениями

3

Сложить их вероятности

Тип 2 — равновозможные события

1

Подсчитать общее число точек n

2

Подсчитать число точек m, где X удовлетворяет условию

3

P = m / n

Строгое vs нестрогое: «X > 1» — точка со значением 1 не входит. «X ≥ 1» — входит.

Один опыт = несколько точек с одинаковым X: это разные события — учитывайте каждую точку отдельно.

Разбор задачи · Тип 1

Заданные вероятности

На диаграмме Эйлера показан случайный опыт S. Около каждого элементарного события указана его вероятность и значение СВ X. Найдите P(X > 1).

1

X > 1 означает: нас интересуют значения 2, 5, 7, 9 (не 1)

2

Находим все точки с такими значениями:
9 → 0.10 | 7 → 0.25 | 7 → 0.10
5 → 0.10 | 5 → 0.15 | 2 → 0.20

3

P = 0.10 + 0.25 + 0.10 + 0.10 + 0.15 + 0.20 = 0.90

Ответ: P(X > 1) = 0.9

Проверка: точка X = 1 с p = 0.10 не вошла. 0.90 + 0.10 = 1 ✓

Разбор задачи · Тип 2

Равновозможные события

Случайный опыт S. Все элементарные события равновозможны. Около каждого указано значение СВ X. Найдите P(X ≥ 2.5).

1

Считаем все точки: n = 10

2

Вероятность каждой точки: p = 1/10 = 0.1

3

X ≥ 2.5 — значит X = 3, 4, 5 или больше.
Таких точек: m = 6

4

P = m/n = 6/10

Ответ: P(X ≥ 2.5) = 0.6

На что обратить внимание

Типичные ошибки

Строгое/нестрогое неравенство: X > 2 — точка с X = 2 не входит. X ≥ 2 — входит. Особенно актуально при дробных границах: X ≥ 2.5 при целых значениях X равносильно X ≥ 3.

Перепутаны X и p: около точки два числа — одно значение случайной величины, другое — вероятность. Читайте условие задачи внимательно.

Игнорируются повторяющиеся значения X: несколько точек с одинаковым X — это разные события. Вероятности каждой складываются по отдельности.

Ошибка при равновозможных: если написано «все события равновозможны» — не суммируйте числа на диаграмме как вероятности. Используйте m/n.

Не проверена сумма вероятностей: быстрая проверка — сложить все p, должно получиться 1. Если нет — где-то ошибка или пропущена точка.

Тренажёр · Случайные величины

Практика — проверь себя

Нажмите кнопку — получите 5 заданий

Случайныевеличины.Закон распределения.Диаграмма Эйлера