ЕГЭ · Профильная математика · Статистика и вероятность

Математическое
ожидание

Вычисление E(X) из таблицы распределения

Гордеев С.В. · 10–11 класс · gordeev-math.ru

Интуиция

Что такое математическое ожидание

Математическое ожидание E(X) — это среднее значение случайной величины X при очень большом числе повторений опыта. Иначе говоря, «центр тяжести» распределения.

Пример — лотерея

Билет стоит 75 рублей. Возможные выигрыши: 5, 80, 1000 или 5000 руб.
E(X) = «сколько в среднем принесёт один билет» — именно это и вычисляем.

E(X) = 10 руб.

Если E(X) < цены билета — в среднем проигрываем.

E(X) не обязано быть значением из таблицы

Например, при броске кубика E(X) = 3.5 — такого числа на грани нет.

E(X) может быть отрицательным

Если среди значений X есть отрицательные с большой вероятностью.

Теория

Формула и алгоритм

E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ = Σ xᵢ·pᵢ

Каждое значение умножается на свою вероятность — результаты складываются.

1

Выписать таблицу распределения: все xᵢ и соответствующие pᵢ

2

Убедиться, что сумма вероятностей равна 1 (или найти недостающую pᵢ)

3

Вычислить каждое произведение xᵢ · pᵢ

4

Сложить все произведения — это и есть E(X)

Знак значения xᵢ важен! Отрицательные xᵢ дают отрицательный вклад в сумму.

Разбор задачи · Стандартный тип

Находим E(X) из таблицы

В таблице показано распределение случайной величины X.
Найдите E(X) — математическое ожидание.

X	−5	1	2	3
P	0.3	0.2	0.3	0.2

1

Проверяем: 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 1 ✓

2

Вычисляем каждое произведение xᵢ · pᵢ

3

Складываем результаты

Ответ: E(X) = −0.1

E(X) = (−5) · 0.3
      + 1 · 0.2
      + 2 · 0.3
      + 3 · 0.2

= (−1.5) + 0.2 + 0.6 + 0.6

= −0.1

Отрицательный результат возможен — значение X = −5 имеет большую вероятность и «тянет» среднее влево.

Разбор задачи · Вероятности в процентах

Вероятности заданы в процентах

Найдите E(X) для случайной величины X, если её распределение вероятностей задано:

X	20	30	70
P, %	40	50	10

Проценты → вероятности: делим на 100.

1

Переводим: p₁ = 0.4, p₂ = 0.5, p₃ = 0.1

2

Проверяем: 0.4 + 0.5 + 0.1 = 1 ✓

3

Применяем формулу

E(X) = 30

Переводим % в доли:
40% → 0.4 | 50% → 0.5 | 10% → 0.1

E(X) = 20 · 0.4
+ 30 · 0.5
+ 70 · 0.1

= 8 + 15 + 7

= 30

Интересно: E(X) = 30 совпало с одним из значений X. Это бывает, но не обязательно.

Разбор задачи · Таблица с многими значениями

Шесть значений — аккуратный счёт

Найдите E(X) для случайной величины X со следующим распределением:

X	1	2	4	6	8	9
P	0.012	0.152	0.336	0.336	0.152	0.012

1 · 0.012 = 0.012
2 · 0.152 = 0.304
4 · 0.336 = 1.344
6 · 0.336 = 2.016
8 · 0.152 = 1.216
9 · 0.012 = 0.108
──────────────
E(X) = 5.000

Заметьте симметрию:
Таблица симметрична относительно середины отрезка [1; 9] = 5. При симметричном распределении E(X) всегда равно центру симметрии.

При большом числе значений удобно считать столбиком — так меньше ошибок. Проверяйте сумму произведений.

Разбор задачи · Усложнение

Одна вероятность неизвестна

В таблице распределения одна вероятность не указана. Найдите E(X).

X	−2	0	5
P	0.2	p	0.3

1

Сумма вероятностей = 1:
0.2 + p + 0.3 = 1 → p = 0.5

2

Подставляем в формулу E(X)

3

(−2)·0.2 + 0·0.5 + 5·0.3 = −0.4 + 0 + 1.5

E(X) = 1.1

Шаг 1. Находим p:
0.2 + p + 0.3 = 1
p = 0.5

Шаг 2. Вычисляем E(X):
(−2) · 0.2 = −0.4
0 · 0.5 = 0.0
5 · 0.3 = 1.5
──────────────
E(X) = 1.1

Слагаемое 0 · p всегда равно нулю — его можно сразу не писать, но помнить про него нужно.

Теория · Линейное преобразование

M(aX + b) = a · M(X) + b

Если случайную величину X умножить на константу a и прибавить b, математическое ожидание изменяется по той же формуле.

Частные случаи

M(aX) = a · M(X)
Умножение на константу — МО тоже умножается на эту константу.

M(X + b) = M(X) + b
Сдвиг на константу — МО сдвигается на то же значение.

M(c) = c
МО константы равно самой константе.

Пример

Дано: M(X) = 3.2. Найдите M(2X + 3).

M(2X + 3) = 2 · M(X) + 3
= 2 · 3.2 + 3
= 6.4 + 3
= 9.4

Таблицу распределения X для этого пересчитывать не нужно — достаточно знать M(X).

На что обратить внимание

Типичные ошибки

Не перевели % в доли: если вероятности даны в процентах, нужно разделить на 100 перед подстановкой в формулу. 40% ≠ 0.40 — точнее, именно 0.40, но часто пишут «40» и забывают делить.

Потеряли знак: если xᵢ отрицательное, произведение xᵢ · pᵢ тоже отрицательное. E(X) в итоге может быть меньше нуля — это нормально.

Не нашли неизвестную p первым шагом: если в таблице есть пропуск, всегда начинаем с нахождения p через условие Σpᵢ = 1, и только потом считаем E(X).

Перепутали: «среднее X» и «E(X)»: E(X) — это взвешенное среднее (с вероятностями). Обычное среднее арифметическое значений xᵢ — другая вещь.

Арифметические ошибки при многих слагаемых: считайте столбиком, записывайте каждое произведение — не пытайтесь сложить всё в уме за один шаг.

Тренажёр · Математическое ожидание

Практика — проверь себя

Нажмите кнопку — получите 5 заданий

Математическоеожидание