Геометрия · 7 класс · §6, пп. 11–13

Смежные и вертикальные углы Перпендикулярные прямые · Урок 6

Что происходит с углами при пересечении прямых?

6

Мотивация

Углы при пересечении

Перекрёсток: две дороги пересекаются и образуют четыре угла. Знание их соотношений — основа дорожного проектирования.

Ножницы: лезвия — два луча с общей вершиной. При открывании все четыре угла связаны жёсткими соотношениями.

Строительный угольник всегда 90°: прямые, пересекающиеся под прямым углом, — основа любого здания.

В оптике угол падения и угол отражения образуют смежную пару — ровно 180° вместе с нормалью.

§6, п. 11 · Определение

Смежные углы

Определение

Два угла называются смежными, если они имеют общую вершину, общую сторону, а две другие стороны образуют прямую.

Теорема

∠1 + ∠2 = 180°

Доказательство: ∠AOC = 180° (развёрнутый). OB — луч внутри него. По аксиоме: ∠AOB + ∠BOC = 180°. □

Следствие

Если ∠1 = α, то смежный с ним равен 180° − α.

§6, п. 12 · Определение

Вертикальные углы

Определение

Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжениями сторон другого.

Теорема

∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4

Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° (смежные)
∠3 + ∠2 = 180° (смежные)
⟹ ∠1 = 180° − ∠2 = ∠3. □

§6, п. 13 · Определение

Перпендикулярные прямые

Определение

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (90°).

a ⊥ b

Свойство

Через каждую точку прямой проходит единственный перпендикуляр к ней.

Все четыре угла при пересечении = 90°.

Разбор задачи 1

Смежные углы

Условие

Лучи OA и OC образуют прямую. Луч OB исходит из точки O. ∠AOB = 4x + 6°, ∠BOC = 2x + 30°. Найдите оба угла.

1

Углы смежные: ∠AOB + ∠BOC = 180°

2

Уравнение: (4x + 6) + (2x + 30) = 180

3

6x + 36 = 180 ⟹ 6x = 144 ⟹ x = 24

4

Ответ: ∠AOB = 4·24+6 = 102°, ∠BOC = 2·24+30 = 78°

✓

Проверка: 102° + 78° = 180° ✓

Разбор задачи 2

Вертикальные углы

Условие

Две прямые пересекаются в точке O.
∠AOB = 3x + 20°, ∠COD = 5x − 8°.
Найдите все четыре угла.

1

∠AOB и ∠COD — вертикальные: стороны одного являются продолжениями сторон другого, значит они равны

2

Составляем уравнение:
3x + 20 = 5x − 8
⟹ 20 + 8 = 5x − 3x ⟹ 28 = 2x ⟹ x = 14

3

Первая вертикальная пара:
∠AOB = ∠COD = 3·14+20 = 62°

4

Вторая пара — смежные с 62°:
∠BOC = ∠AOD = 180°−62° = 118°

✓

Проверка: 62°+118°+62°+118° = 360° ✓

Итог урока

Что запомнить

1

Смежные углы — общая вершина, общая сторона; две другие стороны образуют прямую.
∠1 + ∠2 = 180° ⟹ смежный к α равен 180° − α

2

Вертикальные углы — стороны одного являются продолжениями сторон другого.
∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 ⟹ каждый равен 180° минус смежный с ним

3

При пересечении двух прямых — 4 угла: 2 пары вертикальных и 4 пары смежных. Сумма всех четырёх: 360°.

4

Перпендикулярные прямые пересекаются под 90°; обозначение a ⊥ b. Все четыре угла = 90°. Перпендикуляр из точки к прямой единственен.

5

Алгоритм задач:
смежные → ∠1 + ∠2 = 180° (составь уравнение, найди x);
вертикальные → ∠1 = ∠3 (приравняй выражения, найди x).

Тренажёр