Метро разгоняется. Спидометр показывает 60 км/ч.
Но что значит «скорость прямо сейчас»?
Поезд движется по закону . Берём момент и считаем среднюю скорость за промежуток h:
| Промежуток h, с | Путь Δs, м | Средняя скорость Δs/h, м/с |
|---|---|---|
| 1 | 21 | 21 |
| 0.1 | 2.01 | 20.1 |
| 0.01 | 0.2001 | 20.01 |
| 0.001 | 0.020001 | 20.001 |
| → 0 | → 0 | → 20 |
s(t) = t² + 19t | t₀ = 1 с. Числитель и знаменатель оба → 0, но их отношение стабилизируется у числа 20.
То, что мы считали в таблице — средняя скорость за промежуток h:
«h → 0» — это не «h = 0» (тогда получим 0/0). Это: наблюдаю, к чему приближается результат:
Знак lim — «предел». Математический способ сказать: смотрю, куда стремится выражение при h → 0, но сам h нулём не делаю.
Тот же приём работает для любой функции f(x). Берём точку x₀ и считаем предел:
Это число называется производной функции f в точке x₀ и пишется f′(x₀):
Если производная существует в каждой точке — её записывают просто f′(x): это уже новая функция.
Дробь [f(x₀+h)−f(x₀)]/h — это угловой коэффициент секущей через P и Q.
Когда h → 0, точка Q ползёт к P. Секущая поворачивается и в пределе становится касательной.
Наклон касательной рассказывает о поведении функции:
В задачах ЕГЭ часто просят найти точки, где f′(x) = 0 — это кандидаты на максимум или минимум (подробнее — в Д3 и Д4).
| Константа | |
| Линейная | |
| Степенная | |
| Показательная | |
| Натуральный лог. | |
| Синус | |
| Косинус |
Эти формулы — результат применения определения к каждой функции. Как ими пользоваться и комбинировать правила — в Д2.