Слайд 1 из 11

Когда функция растёт?

Производная f′(x) — это наклон касательной в точке. По знаку наклона сразу видно, куда движется график:

f′>0 f′=0 f′<0 ↗ возрастает ↘ убывает
Задача: узнать это из формулы f(x), не строя график.   Производная знает ответ!
Слайд 2 из 11

Признак монотонности

Если на промежутке
то функция возрастает на этом промежутке
Если на промежутке
то функция убывает на этом промежутке
Почему? — Геометрический смысл
f′(x) — это наклон касательной в точке x.
Наклон вверх (угол > 0°) → функция в этой точке возрастает. Наклон вниз → убывает.
Если наклон положителен на ВСЁМ промежутке — функция возрастает на нём. Если отрицателен везде — убывает.

Это связь алгебры и геометрии: знак числа f′(x) → направление движения графика. Достаточно один раз это понять — и всё остальное логично.

Слайд 3 из 11

Важно: «на промежутке», не «в точке»

Неверное рассуждение
«В точке x₀ = 2 производная f′(2) = 5 > 0, значит функция возрастает»
✗ Нельзя делать вывод о возрастании по одной точке!
Верное рассуждение
«На всём промежутке (1; 3) производная f′(x) > 0, значит функция возрастает на (1; 3)»
✓ Знак должен держаться на всём промежутке
Промежуток монотонности — это такой промежуток, на котором f′(x) сохраняет постоянный знак. Внутри него функция ведёт себя «одинаково»: только вверх или только вниз.
Граничные точки (x, где f′= 0)
В точках, где f′(x₀) = 0, функция «останавливается» — не возрастает и не убывает. Их включают в промежутки монотонности (если функция в них определена), но в ЕГЭ чаще пишут открытые промежутки: (a; b), а не [a; b].
Слайд 4 из 11

Алгоритм нахождения промежутков монотонности

1
Найти f′(x)
Дифференцируем по всем правилам Д2
Используем таблицу и правила: сумма, произведение, цепное
2
Найти нули f′
Решить уравнение f′(x) = 0
Это точки-разделители. Они делят числовую прямую на промежутки
3
Найти точки разрыва f′
Где f′ не существует?
Для дробей: знаменатель = 0. Для корней: подкоренное < 0. Эти точки — тоже разделители
4
Отметить разделители на прямой
Числовая прямая с точками
Получаем промежутки. Внутри каждого — знак f′ постоянен
5
Определить знак f′ на каждом промежутке
Подставить любую «пробную» точку
«+» → возрастает. «−» → убывает. Выписать ответ
Слайд 5 из 11

Числовая прямая — наш главный инструмент

После шагов 1–3 рисуем прямую, отмечаем на ней все разделители и определяем знак f′ на каждом промежутке:

x₁ x₂ f′=0 f′=0 + − + ↗ возрастает ↘ убывает ↗ возрастает
Нули f′ — разделители
Ставим на прямой. Это не промежутки — это точки, где f′ меняет знак
Знак f′ на промежутке
Подставляем любое число из промежутка в f′(x) и смотрим на знак результата
Вывод о поведении f
«+» → f возрастает на этом промежутке.
«−» → f убывает
Слайд 6 из 11

Пример 1: полином

Задача. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 
Шаг 1 — производная
Шаг 2 — нули f′
Шаг 3 — числовая прямая Пробные точки: x=−2 → f′(−2)=9>0; x=0 → f′(0)=−3<0; x=2 → f′(2)=9>0
Ответ
Возрастает:
Убывает:  
Числовая прямая знаков f′
−1 1 f′=0 f′=0 + − + ↗ ↘ ↗
Слайд 7 из 11

Пример 2: рациональная функция

Задача. Найдите промежутки возрастания функции 
Шаг 1 — область определения — точка x=0 тоже является разделителем!
Шаг 2 — производная
Шаг 3 — нули f′
Шаг 4 — 4 промежутка (разделители: −1, 0, 1) x=−2: f′=(4−1)/4=3/4>0; x=−½: f′=(¼−1)/¼=−3<0;
x=½: f′=(¼−1)/¼=−3<0; x=2: f′=(4−1)/4=3/4>0
Возрастает
Числовая прямая (с разрывом в 0)
−1 0(∄) 1 f′=0 f′=0 + − − + ↗ ↘ ↘ ↗
Слайд 8 из 11

Типичные ошибки

✗ Ошибка 1 — нули f′ как промежутки
«Возрастает при x = −1 и x = 1»
x=−1 и x=1 — это отдельные точки, а не промежутки
✓ Верно
Возрастает на промежутках (−∞; −1) и (1; +∞)
✗ Ошибка 2 — забытая область определения
Для f(x) = x + 1/x нашли нули ±1 и написали два промежутка
Пропустили точку x=0, где функция не определена
✓ Верно
x=0 тоже разделитель. Промежутков не 2, а 4
✗ Ошибка 3 — неверная проверка знака
Подставили x=0 для промежутка (1; +∞)
x=0 не принадлежит промежутку (1; +∞)!
✓ Верно
Пробная точка должна лежать внутри проверяемого промежутка. Для (1; +∞) берём x=2
Слайд 9 из 11

Как это спрашивает ЕГЭ

Типичная формулировка задания 7 (базовый ЕГЭ)
«Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.»
Находим f′(x)
Нули:
Знак на (−3; 1): пробная точка x=0 f′(0) = −9 < 0 → убывает ✓
Промежуток убывания
Формат ответа в ЕГЭ
Промежуток убывания: (−3; 1).
Целые числа внутри: −2, −1, 0.
Сумма: −2 + (−1) + 0 = −3
Крайние точки −3 и 1 в открытый промежуток не входят → не суммируем
Слайд 10 из 11

Что дальше?

Сейчас мы умеем:
Находить нули f′ → строить числовую прямую → определять знак на промежутке → делать вывод о монотонности
→
Д4 — «Максимум, минимум, экстремум»
Нули f′ делят числовую прямую на промежутки. Что происходит прямо в этих нулях? Там может быть максимум, минимум — или ничего.
Главная идея Д4:  f′ меняет «+» на «−» ⇒ максимум;  «−» на «+» ⇒ минимум

gordeev-math.ru  ·  Гордеев С.В.  ·  Серия Д, презентация 3 из 6

Слайд 11 из 11

Тренажёр — Монотонность функции

Задания
⌂ На главную