Слайд 1 из 9

Что мы уже знаем о касательной

x x₀ α k = f ′(x₀) f(x₀)
Производная f′(x₀) — это наклон касательной к графику в точке x₀.
Наклон прямой = тангенс угла α между прямой и осью Ox.
k = tg α = f ′(x₀)
В Д1 мы поняли это геометрически. Теперь используем: если знаем f′(x₀), мы знаем наклон касательной — и можем записать её уравнение.
Слайд 2 из 9

Уравнение прямой: точка + наклон

x − x₀ y − y₀ x₀ y₀ k = tgα
Прямая с наклоном k, проходящая через точку (x₀; y₀):
Это стандартная формула из геометрии. Для касательной нужно только подставить правильные значения x₀, y₀ и k.
Слайд 3 из 9

Формула уравнения касательной

ФОРМУЛА КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ f В ТОЧКЕ x₀
f(x₀)
Значение функции в точке касания.
Это y-координата точки: y₀ = f(x₀)
f ′(x₀)
Производная в точке касания.
Это наклон касательной: k = f ′(x₀)
(x − x₀)
Смещение от точки касания.
Горизонтальное расстояние от x₀ до x

Три числа определяют касательную: x₀ (где касаемся), f(x₀) (высота) и f′(x₀) (наклон).

Слайд 4 из 9

Алгоритм: три шага

1
Найти x₀ и вычислить f(x₀)
x₀ — дана или извлекается из условия; f(x₀) — подставить в функцию
2
Найти производную f′(x) и вычислить f′(x₀)
Дифференцировать, затем подставить x₀ — получим наклон k
3
Подставить в формулу
y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Упростить при необходимости
Четыре типа задач различаются тем, что задано в условии:
А — точка касания  ·  Б — угловой коэффициент  ·  В — параллельная прямая  ·  Г — внешняя точка
Слайд 5 из 9

Тип А — дана точка касания

ТИП А
Задача: написать уравнение касательной к графику в точке x₀ = 2.
ШАГ 1 — f(x₀)
ШАГ 2 — производная
ШАГ 2 — f′(x₀)
ШАГ 3 — подставить y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)
ОТВЕТ
Прямая с наклоном 12, проходящая через точку (2; 8). Наклон 12 — довольно крутой, что логично: x³ быстро растёт при x=2.
Слайд 6 из 9

Тип Б — задан угловой коэффициент

ТИП Б
Задача: написать уравнение касательной к с угловым коэффициентом k = 6.
Найти x₀
Вычислить f(x₀)
Подставить y = 9 + 6·(x − 3)
ОТВЕТ
Сначала ищем x₀, приравнивая f′(x₀) к заданному коэффициенту. Потом — точку касания. Потом — уравнение.
Слайд 7 из 9

Тип В — касательная параллельна прямой

ТИП В
Задача: написать уравнение касательной к , параллельной прямой y = 4x + 1.
Ключевой шаг: k = 4
Найти x₀
Вычислить f(x₀)
Подставить y = 4 + 4·(x − 2)
ОТВЕТ
Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Наклон прямой y = 4x + 1 равен 4. Дальше — как тип Б.
Слайд 8 из 9

Тип Г — касательная из внешней точки

ТИП Г
Задача: провести касательные к , проходящие через точку (1; −3).
Точка (1; −3) не лежит на параболе (f(1)=1≠−3). Она — внешняя. Нужно найти точки касания x₀ так, чтобы касательная прошла через (1; −3).
Общая касательная в x₀
Условие: проходит через (1; −3)
Решить уравнение
ДВЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ
→
Серия Д завершена.
Д6: применение производной в физических и оптимизационных задачах.
⌂ На главную