ЕГЭ · Математика профильная

Финансовая
математика

Часть I — Вклады и банковские депозиты
Наращение · Пополнение · Снятие · Нахождение параметров

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru
Гордеев С.В., gordeev-math.ru
Содержание

Что разберём в этой презентации

Теория

Основы вклада

  • Ключевые понятия и обозначения

  • Порядок операций внутри года

  • Метод таблицы — универсальный алгоритм

Тип 1

Чистое наращение

  • Формула \(S_n = S_0\cdot(1{+}r)^n\)

  • Таблица и разбор примера

Типы 2–3

Пополнение и снятие

  • Ежегодное пополнение вклада

  • Ежегодное снятие со вклада

  • Таблица и разбор примеров

Типы 4–6

Нахождение параметров

  • Переменная ставка

  • Нахождение начальной суммы \(S_0\)

  • Нахождение ставки \(r\)

  • Сравнение двух вариантов

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Теория · Понятия

Ключевые понятия и обозначения

ОбозначениеСимволОписание
Начальная сумма вклада \(S_0\) Сумма, положенная в банк в момент открытия вклада
Годовая процентная ставка \(r\) Доля наращения за год; 10% годовых → \(r = 0{,}1\)
Срок вклада \(n\) Число полных лет размещения денежных средств
Итоговая сумма \(S_n\) Сумма на вкладе в конце \(n\)-го года
Коэффициент наращения \((1 + r)\) Множитель: во столько раз вырастает сумма за один год
Пополнение / снятие \(d\) Фиксированная сумма, добавляемая или снимаемая в начале года

Важно: в задачах ЕГЭ проценты начисляются в конце каждого года. Пополнение или снятие происходит в начале года, до начисления процентов.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Теория · Порядок операций

Что и когда происходит в течение года

Момент Действие Применяется к годам Формула
Начало года 1 Открытие вклада — кладём сумму \(S_0\) Год 1 \(S_0\)
Начало года \(k\) (\(k \ge 2\)) Пополнение +d или снятие −d (если предусмотрено) Года 2, 3, …, \(n\) \(S_{k-1} \pm d\)
Конец каждого года \(k\) Начисление процентов — умножение на \((1{+}r)\) Каждый год \(\times\,(1+r)\)
Нач. года 1 Кладём S₀ Конец года 1 × (1+r) Нач. года 2 ±d Конец года 2 × (1+r) Нач. года 3 ±d наращение наращение

Ключевое правило: пополнение/снятие происходит до начисления процентов в том же году. То есть сначала вносим/снимаем деньги, а потом банк начисляет проценты на изменённую сумму.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Теория · Метод таблицы

Универсальный алгоритм решения — метод таблицы

Алгоритм (4 шага)
  • 1

    Записать начальную сумму \(S_0\) в строку «Год 1»

  • 2

    Для каждого следующего года: сначала применить пополнение/снятие \((\pm d)\)

  • 3

    Умножить сумму на \((1{+}r)\) — это конец текущего года

  • 4

    Повторить шаги 2–3 для всех оставшихся лет

\[\text{Итог года } k = \bigl(S_{k-1} \pm d\bigr)\cdot(1+r)\]

где \(d=0\) для года 1 и в случае чистого наращения

Общая структура таблицы:

Год Нач. суммы \(\pm d\) До % × \((1{+}r)\) Конец года
1 \(S_0\) — \(S_0\) ×\((1{+}r)\) \(S_0(1{+}r)\)
2 \(S_0(1{+}r)\) \(\pm d\) \(S_0(1{+}r)\pm d\) ×\((1{+}r)\) \((S_0(1{+}r)\pm d)(1{+}r)\)
3 ↑ предыдущее \(\pm d\) … ×\((1{+}r)\) …
\(n\) ↑ предыдущее \(\pm d\) … ×\((1{+}r)\) \(S_n\) — ответ

Метод таблицы работает для любого типа задач на вклады: простое наращение, пополнение, снятие, переменная ставка — без запоминания отдельных формул.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 1 · Чистое наращение

Простой вклад: пополнений и снятий нет

\[S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n\]
Задача

Вклад 200 000 руб., срок 3 года, ставка 10% годовых.
Найдите итоговую сумму.

Через формулу

\(S_3 = 200\,000 \cdot 1{,}1^3 = 200\,000 \cdot 1{,}331\)

Ответ: 266 200 руб.

То же самое методом таблицы (тыс. руб.):

Год Нач. суммы Пополн. / снятие До начисл. % × 1,10 Конец года
1 200 000 — 200 000 ×1,10 220 000
2 220 000 — 220 000 ×1,10 242 000
3 242 000 — 242 000 ×1,10 266 200

При чистом наращении формулу \(S = S_0\cdot(1{+}r)^n\) быстрее считать прямо, без таблицы. Таблица нужна, как только появляются дополнительные операции.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 2 · Пополнение вклада

В начале каждого года начиная со второго вклад пополняется

Задача

Вклад 100 000 руб., срок 4 года, ставка 10% годовых.
В начале каждого года начиная со второго вклад пополняется на 20 000 руб.
Найдите итоговую сумму.

\[\text{Год }k\ (k{\ge}2):\quad S_k = \bigl(S_{k-1} + 20\,000\bigr)\cdot 1{,}10\]
Логика пополнения

В начале года деньги уже лежат на счёте. Вносим +20 000 — и только потом банк начисляет проценты на всю увеличенную сумму. Это выгоднее, чем если бы пополнение происходило в конце года.

Метод таблицы (тыс. руб.):

Год Нач. суммы +20 000 До начисл. % × 1,10 Конец года
1 100 000 — 100 000 ×1,10 110 000
2 110 000 +20 000 130 000 ×1,10 143 000
3 143 000 +20 000 163 000 ×1,10 179 300
4 179 300 +20 000 199 300 ×1,10 219 230

Ответ: 219 230 руб.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 3 · Снятие со вклада

В начале каждого года начиная со второго снимается фиксированная сумма

Задача

Вклад 100 000 руб., срок 4 года, ставка 10% годовых.
В начале каждого года начиная со второго снимается 5 000 руб.
Найдите итоговую сумму.

\[\text{Год }k\ (k{\ge}2):\quad S_k = \bigl(S_{k-1} - 5\,000\bigr)\cdot 1{,}10\]
Важный момент

Снятие уменьшает базу для начисления процентов. Проценты начисляются уже на уменьшенную сумму. Следите: если снять слишком много, вклад может «съесть» сам себя до нуля.

Метод таблицы (тыс. руб.):

Год Нач. суммы −5 000 До начисл. % × 1,10 Конец года
1 100 000 — 100 000 ×1,10 110 000
2 110 000 −5 000 105 000 ×1,10 115 500
3 115 500 −5 000 110 500 ×1,10 121 550
4 121 550 −5 000 116 550 ×1,10 128 205

Ответ: 128 205 руб.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 4 · Переменная ставка

Ставка меняется каждый год

\[S_n = S_0 \cdot (1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdots(1+r_n)\]
Задача

Вклад 100 000 руб., срок 3 года.
Ставки: 8% в 1-й год, 10% во 2-й год, 12% в 3-й год.
Найдите итоговую сумму.

Через формулу

\(S_3 = 100\,000 \cdot 1{,}08 \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}12\)

\(\phantom{S_3} = 100\,000 \cdot 1{,}33056\)

Ответ: 133 056 руб.

Метод таблицы (тыс. руб.):

Год Нач. суммы Ставка Коэф. наращения Конец года
1 100 000 8% ×1,08 108 000
2 108 000 10% ×1,10 118 800
3 118 800 12% ×1,12 133 056
Для переменной ставки

Формула — произведение коэффициентов — работает только при чистом наращении. Если есть пополнения/снятия — только метод таблицы.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 5 · Нахождение начальной суммы

Дана итоговая сумма — найти \(S_0\)

Задача

Вклад открыт на 3 года под 20% годовых.
В начале 2-го и 3-го года вклад пополняется на 10 000 руб.
В конце 3-го года сумма составила 173 280 руб.
Найдите начальную сумму вклада.

Идея решения
  • 1

    Обозначить начальную сумму \(S_0\) (неизвестное)

  • 2

    Заполнить таблицу — все значения через \(S_0\)

  • 3

    Получить уравнение и решить его

Таблица через \(S_0\) (тыс. руб.):

Год Нач. суммы +10 000 До начисл. % × 1,20 Конец года
1 \(S_0\) — \(S_0\) ×1,20 \(1{,}2S_0\)
2 \(1{,}2S_0\) +10 000 \(1{,}2S_0 + 10\,000\) ×1,20 \(1{,}44S_0 + 12\,000\)
3 \(1{,}44S_0+12\,000\) +10 000 \(1{,}44S_0+22\,000\) ×1,20 \(1{,}728S_0 + 26\,400\)

\(1{,}728S_0 + 26\,400 = 173\,280\)

\(1{,}728S_0 = 146\,880 \;\Rightarrow\; S_0 = 85\,000\)

Ответ: 85 000 руб.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 6 · Нахождение процентной ставки

Дана итоговая сумма — найти ставку \(r\)

Идея

При чистом наращении (без пополнений/снятий) используем формулу:

\[S_n = S_0\cdot(1+r)^n \;\Rightarrow\; (1+r)^n = \frac{S_n}{S_0}\] \[1 + r = \sqrt[n]{\dfrac{S_n}{S_0}} \;\Rightarrow\; r = \sqrt[n]{\dfrac{S_n}{S_0}} - 1\]
Задача A — несложный корень

Вклад 200 000 руб., срок 2 года, итог 242 000 руб.
Найдите ставку \(r\).

\((1+r)^2 = \dfrac{242\,000}{200\,000} = 1{,}21\)

\(1 + r = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \;\Rightarrow\; r = 0{,}1\)

Ответ: 10%

Задача Б — кубический корень

Вклад 500 000 руб., срок 3 года, итог 665 500 руб.
Найдите ставку \(r\).

\((1+r)^3 = \dfrac{665\,500}{500\,000} = 1{,}331\)

\(1 + r = \sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}1 \;\Rightarrow\; r = 0{,}1\)

Ответ: 10%

Как не ошибиться

В ЕГЭ ответ на нахождение ставки — всегда целое число процентов. Если при проверке \(\sqrt[n]{S/S_0}\) не даёт красивого числа — перепроверьте вычисления. Удобно проверить подстановкой: \(S_0\cdot(1{+}r)^n = S\)?

КореньПодсказка
1,21= 1,1² → r = 10%
1,44= 1,2² → r = 20%
1,331= 1,1³ → r = 10%
1,728= 1,2³ → r = 20%
1,3225= 1,15² → r = 15%
Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тип 7 · Сравнение вариантов

Фиксированная ставка против переменной

Задача

Вклад 1 000 000 руб., срок 3 года.
Вариант А: фиксированная ставка 10% на весь срок.
Вариант Б: ставка 8% в 1-й год, каждый следующий год увеличивается на 2%.
Какой вариант выгоднее? Найдите разницу итоговых сумм.

Математический факт

При одинаковом среднем арифметическом ставок фиксированная ставка всегда выгоднее переменной. Это следует из неравенства AM–GM:

\((1{+}r_1)(1{+}r_2) \le \left(\!\dfrac{(1{+}r_1)+(1{+}r_2)}{2}\!\right)^{\!2}\)

Вариант А (10% фикс.)

ГодСтавкаИтог, руб.
110%1 100 000
210%1 210 000
310%1 331 000
1 331 000 руб.

Вариант Б (8%, 10%, 12%)

ГодСтавкаИтог, руб.
18%1 080 000
210%1 188 000
312%1 330 560
1 330 560 руб.

Вариант А выгоднее.
Разница: \(1\,331\,000 - 1\,330\,560 =\) 440 руб.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Разбор ошибок

Типичные ошибки на ЕГЭ

❌ Пополнение — в конце года, а не в начале

В условии сказано «в начале каждого года, начиная со второго». Если применить пополнение после умножения на \((1{+}r)\), сумма окажется заниженной — проценты на довнесённые деньги начислены не будут.

❌ Перепутать «со второго» и «с первого» года

Фраза «начиная со второго года» означает: в году 1 операции нет. В году 2, 3, … — есть. Если начать снимать/пополнять уже в год 1, ответ будет неверным.

❌ Применить формулу \(S_0(1{+}r)^n\) при наличии снятий

Формула \(S = S_0(1{+}r)^n\) работает только при чистом наращении. При любом пополнении или снятии обязателен метод таблицы.

❌ Не учесть снятие перед начислением процентов

Если в начале года снять \(d\) рублей, то проценты начисляются на \((S_{k-1} - d)\), а не на \(S_{k-1}\). Частая ошибка: сначала умножить, потом вычесть.

❌ Переменная ставка: перемножить сами ставки

Нельзя писать \(r_1\cdot r_2\cdot r_3\). Нужно перемножить коэффициенты наращения: \((1{+}r_1)\cdot(1{+}r_2)\cdot(1{+}r_3)\).

❌ Ответ в тысячах при требовании в рублях

Часто удобнее считать в тысячах рублей, но ответ нужно пересчитать в рублях. Проверьте единицы измерения в итоговом ответе.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тренировка

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1 — чистое наращение

Вклад 150 000 руб. на 3 года под 20% годовых.
Найдите итоговую сумму (в рублях).

Задача 2 — снятие

Вклад 200 000 руб. на 3 года под 15% годовых.
В начале каждого года начиная со второго снимается 10 000 руб.
Найдите итоговую сумму.

Задача 3 — переменная ставка

Вклад 50 000 руб. на 3 года.
Ставки: 10%, 12%, 14% по годам.
Найдите итоговую сумму.

Задача 4 — нахождение S₀

Вклад на 2 года под 10% годовых.
В начале 2-го года снимается 20 000 руб.
Итоговая сумма — 99 000 руб.
Найдите начальную сумму вклада.

Задача 5 — нахождение ставки

Вклад 300 000 руб. на 2 года.
Итоговая сумма — 363 000 руб.
Найдите годовую процентную ставку.

Задача 6 — сравнение вариантов

Вклад 1 000 000 руб. на 3 года.
Вариант А: 12% фиксированно.
Вариант Б: 10%, 12%, 14% по годам.
Какой вариант выгоднее? Найдите разницу в рублях.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тренировка · Ответы

Ответы к тренировочным задачам

Задача 1

\(S = 150\,000 \cdot 1{,}2^3 = 150\,000 \cdot 1{,}728\)

Ответ: 259 200 руб.

Задача 2

Г1: \(200\,000 \cdot 1{,}15 = 230\,000\)

Г2: \((230\,000 - 10\,000)\cdot 1{,}15 = 253\,000\)

Г3: \((253\,000 - 10\,000)\cdot 1{,}15 = 279\,450\)

Ответ: 279 450 руб.

Задача 3

\(S = 50\,000 \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}12 \cdot 1{,}14\)

\(\phantom{S} = 50\,000 \cdot 1{,}40448\)

Ответ: 70 224 руб.

Задача 4

Г1: \(S_0 \cdot 1{,}1\)

Г2: \((1{,}1S_0 - 20\,000)\cdot 1{,}1 = 1{,}21S_0 - 22\,000\)

\(1{,}21S_0 - 22\,000 = 99\,000 \Rightarrow S_0 = 100\,000\)

Ответ: 100 000 руб.

Задача 5

\((1+r)^2 = \tfrac{363\,000}{300\,000} = 1{,}21\)

\(1+r = 1{,}1 \Rightarrow r = 0{,}1\)

Ответ: 10%

Задача 6

А: \(1{,}12^3 = 1{,}404928 \to 1\,404\,928\) руб.

Б: \(1{,}10{\cdot}1{,}12{\cdot}1{,}14 = 1{,}40448 \to 1\,404\,480\) руб.

Вариант А выгоднее.
Разница: 448 руб.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Итог

Все формулы и приёмы — одним слайдом

Чистое наращение

\(S_n = S_0\cdot(1+r)^n\)

нет пополнений/снятий

Переменная ставка

\(S_n = S_0\!\cdot\!(1{+}r_1)\!\cdot\!\ldots\!\cdot\!(1{+}r_n)\)

только без снятий/пополнений

Нахождение ставки

\(r = \sqrt[n]{\dfrac{S_n}{S_0}} - 1\)

ответ — целое число %

Порядок операций (год k ≥ 2)
Нач. года k\(\pm d\) (если есть)
Конец года k\(\times(1+r)\)
Рекуррентная формула

\(S_k = (S_{k-1} \pm d)\cdot(1+r)\)

\(d = 0\) в году 1 и при чистом наращении

Нахождение S₀

Обозначить \(S_0\) как неизвестное, заполнить таблицу, составить уравнение

Сравнение вариантов

Посчитать каждый вариант через таблицу, сравнить итоговые суммы

При равном среднем: фиксированная ставка выгоднее переменной

Таблица степеней
\((1{+}r)^n\)n=2n=3n=4
r=10%1,211,3311,4641
r=15%1,32251,52091,7490
r=20%1,441,7282,0736
Главное правило

При любом сомнении — строить таблицу, не угадывать формулу.

Гордеев С.В., gordeev-math.ruВклады · ЕГЭ Профиль
Тренажёр

Финансовая математика — Вклады