Часть II — Банковские кредиты
Наращение долга · Виды платежей · Нахождение параметров
Ключевые понятия и обозначения
Порядок операций в течение года
Метод таблицы — универсальный алгоритм
Все платежи одинаковые
Долг убывает на одну и ту же сумму
Долг задан дробями от \(S_0\)
Льготный период + равные последние платежи
Часть платежей задана
Нахождение суммы кредита \(S_0\)
Нахождение процентной ставки \(r\)
Нахождение срока кредита \(n\)
| Обозначение | Символ | Описание |
|---|---|---|
| Сумма кредита | \(S_0\) | Сумма, взятая в кредит в банке (в июле года 0) |
| Остаток долга в июле года \(k\) | \(D_k\) | Долг сразу после платежа; \(D_0 = S_0\), \(D_n = 0\) (кредит погашен) |
| Годовая процентная ставка | \(r\) | Долг растёт в январе: \(D_{k-1}\cdot(1+r)\). Например, 20% → \(r=0{,}2\) |
| Срок кредита | \(n\) | Число лет до полного погашения |
| Платёж в год \(k\) | \(p_k\) | Выплачивается с февраля по июнь года \(k\) |
| Ключевая формула платежа | \(p_k = D_{k-1}(1+r) - D_k\) | Платёж = долг после начисления % минус остаток долга |
Важно: в задачах ЕГЭ кредит берётся в июле. Проценты начисляются каждый январь (долг растёт). Платёж вносится с февраля по июнь (долг уменьшается). Остаток долга фиксируется в июле каждого года.
| Момент | Событие | Формула | Применяется |
|---|---|---|---|
| Июль года 0 | Берём кредит — долг равен \(S_0\) | \(D_0 = S_0\) | Один раз |
| Январь года \(k\) | Долг вырастает на \(r\%\) долг ↑ | \(D_{k-1}\cdot(1+r)\) | Ежегодно |
| Фев–июнь года \(k\) | Вносим платёж \(p_k\) долг ↓ | \(p_k = D_{k-1}(1{+}r) - D_k\) | Ежегодно |
| Июль года \(k\) | Фиксируем остаток долга \(D_k\) | \(D_k = D_{k-1}(1{+}r) - p_k\) | Ежегодно |
| Июль года \(n\) | Кредит полностью погашен | \(D_n = 0\) | Конец |
Ключевое отличие от вкладов: при кредите операции идут в обратном порядке: сначала долг растёт (январь), затем его уменьшают платежом (фев–июнь). При вкладах: сначала пополнение/снятие, потом начисление процентов.
В строку «Год 0» записать \(D_0 = S_0\)
Умножить \(D_{k-1}\) на \((1{+}r)\) — долг после начисления % в январе
Вычесть платёж \(p_k\) — получить остаток \(D_k\) в июле
Повторить шаги 2–3. На последнем году \(D_n = 0\)
платёж = «долг после %» минус «остаток долга»
Общая структура таблицы:
| Год | Долг в июле | × \((1{+}r)\) | Долг после % | Платёж \(p_k\) | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \(S_0\) | — | — | — | \(D_0 = S_0\) |
| 1 | \(S_0\) | ×\((1{+}r)\) | \(S_0(1{+}r)\) | \(p_1\) | \(D_1\) |
| 2 | \(D_1\) | ×\((1{+}r)\) | \(D_1(1{+}r)\) | \(p_2\) | \(D_2\) |
| \(n\) | \(D_{n-1}\) | ×\((1{+}r)\) | \(D_{n-1}(1{+}r)\) | \(p_n\) | 0 |
Сумма всех платежей: \(\displaystyle\Sigma = \sum_{k=1}^{n} p_k\). Метод таблицы работает для любого типа задач на кредиты.
В июле взят кредит 110 000 руб. на 2 года под 20% годовых.
Кредит погашается двумя равными платежами.
Найдите итоговую сумму выплат.
Обозначить равный платёж через \(p\)
Заполнить таблицу, выразив долги через \(p\)
Приравнять \(D_2 = 0\) и решить уравнение
Метод таблицы (тыс. руб.):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,20 | Долг после % | Платёж \(p\) | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | — | 110 000 |
| 1 | 110 000 | ×1,20 | 132 000 | 72 000 | 60 000 |
| 2 | 60 000 | ×1,20 | 72 000 | 72 000 | 0 |
\(132\,000 - p = p\,/\,1{,}2 \;\Rightarrow\; 132\,000 = p + p\,/\,1{,}2 = 11p\,/\,6\)
\(p = 132\,000 \cdot 6 / 11 = 72\,000\) руб.
Итого выплат: \(2 \times 72\,000 =\) 144 000 руб.
В июле взят кредит 900 000 руб. на 3 года под 20% годовых.
В июле каждого года долг на 300 000 руб. меньше, чем в предыдущем июле.
Найдите общую сумму выплат.
Долги образуют убывающую арифметическую прогрессию:
\(D_0 = 900\,000 \to D_1 = 600\,000 \to D_2 = 300\,000 \to D_3 = 0\)
Формула платежа:
\(p_k = D_{k-1}\cdot r + \dfrac{S_0}{n} = D_{k-1}\cdot r + 300\,000\)
Платежи убывают: первый самый большой.
Метод таблицы (тыс. руб.):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,20 | Долг после % | Платёж | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | — | 900 000 |
| 1 | 900 000 | ×1,20 | 1 080 000 | 480 000 | 600 000 |
| 2 | 600 000 | ×1,20 | 720 000 | 420 000 | 300 000 |
| 3 | 300 000 | ×1,20 | 360 000 | 360 000 | 0 |
Итого: \(480\,000 + 420\,000 + 360\,000 =\) 1 260 000 руб.
Общая сумма = \(S_0 + S_0 \cdot r \cdot \dfrac{n+1}{2} = 900\,000 \cdot\bigl(1 + 0{,}2\cdot 2\bigr) = 1\,260\,000\)
В июле взят кредит \(S_0 = S\) тыс. руб. под 20% годовых.
Долги по годам:
| Июль г.0 | Июль г.1 | Июль г.2 | Июль г.3 |
|---|---|---|---|
| \(S\) | \(0{,}8S\) | \(0{,}4S\) | 0 |
Найдите наибольшее \(S\), при котором каждый платёж ≤ 840 тыс. руб.
\(p_1 = 1{,}2S - 0{,}8S = 0{,}4S\)
\(p_2 = 0{,}8S\cdot 1{,}2 - 0{,}4S = 0{,}96S - 0{,}4S = 0{,}56S\)
\(p_3 = 0{,}4S\cdot 1{,}2 - 0 = 0{,}48S\)
Наибольший платёж: \(p_2 = 0{,}56S\)
\(0{,}56S \le 840 \;\Rightarrow\; S \le 1500\)
Ответ: 1 500 тыс. руб.
Таблица через \(S\) (тыс. руб.):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,20 | Долг после % | Платёж \(p_k\) | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S\) | ×1,20 | \(1{,}2S\) | \(0{,}4S\) | \(0{,}8S\) |
| 2 | \(0{,}8S\) | ×1,20 | \(0{,}96S\) | \(0{,}56S\) | \(0{,}4S\) |
| 3 | \(0{,}4S\) | ×1,20 | \(0{,}48S\) | \(0{,}48S\) | 0 |
\(p_1 = 0{,}4\cdot 1500 = 600\) тыс., \(p_2 = 0{,}56\cdot 1500 = 840\) тыс., \(p_3 = 720\) тыс.
Максимальный платёж \(p_2 = 840\) — условие выполняется ровно. Итого выплат: \(2160\) тыс. руб.
В июле взят кредит на 3 года под 20% годовых.
Платежи в год 1 и год 2 составляют по 300 тыс. руб.
Платёж в год 3 составляет 417,6 тыс. руб.
Найдите сумму кредита \(S_0\).
Обозначить \(S_0\) как неизвестное
Заполнить таблицу, используя заданные платежи
Из условия \(D_3 = 0\) составить уравнение
Таблица через \(S_0\) (тыс. руб.):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,20 | Долг после % | Платёж | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | — | \(S_0\) |
| 1 | \(S_0\) | ×1,20 | \(1{,}2S_0\) | 300 | \(1{,}2S_0 - 300\) |
| 2 | \(1{,}2S_0-300\) | ×1,20 | \(1{,}44S_0-360\) | 300 | \(1{,}44S_0-660\) |
| 3 | \(1{,}44S_0-660\) | ×1,20 | \(1{,}728S_0-792\) | 417,6 | 0 |
\(1{,}728S_0 - 792 = 417{,}6\)
\(1{,}728S_0 = 1\,209{,}6 \;\Rightarrow\; S_0 = 700\) тыс. руб.
Ответ: 700 000 руб.
Итого выплат: \(300 + 300 + 417{,}6 = 1017{,}6\) тыс. руб.
В июле взят кредит 2 200 000 руб. на 5 лет под 20% годовых.
В июле годов 1, 2, 3 долг остаётся равен \(S_0\).
Платежи в годы 4 и 5 равны.
Найдите разницу между платежами в год 1 и год 5.
Если \(D_1 = D_0 = S_0\), то:
\(p_1 = S_0\cdot 1{,}2 - S_0 = S_0\cdot r = 2\,200\,000\cdot 0{,}2 = 440\,000\)
В льготные годы платятся только проценты на сумму долга — тело кредита не гасится.
Метод таблицы (млн руб.):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,20 | Платёж | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | 2,2 |
| 1 | 2,2 | ×1,20 | 0,44 | 2,2 |
| 2 | 2,2 | ×1,20 | 0,44 | 2,2 |
| 3 | 2,2 | ×1,20 | 0,44 | 2,2 |
| 4 | 2,2 | ×1,20 | \(p\) | \(2{,}64-p\) |
| 5 | \(2{,}64-p\) | ×1,20 | \(p\) | 0 |
\((2{,}64-p)\cdot 1{,}2 = p \;\Rightarrow\; 3{,}168 = 2{,}2p \;\Rightarrow\; p = 1{,}44\) млн
Разница: \(1{,}44 - 0{,}44 =\) 1 000 000 руб.
Итого выплат: \(3\cdot 0{,}44 + 2\cdot 1{,}44 = 1{,}32 + 2{,}88 = 4{,}2\) млн
В июле взят кредит 200 000 руб.
Кредит погашается за 2 года:
в год 1 выплачено 130 000 руб., в год 2 — 150 000 руб.
Найдите годовую процентную ставку \(r\).
Обозначим \(x = 1 + r\). Из таблицы:
\(D_1 = 200\,000\cdot x - 130\,000\)
\(D_2 = D_1\cdot x - 150\,000 = 0\)
\((200\,000x - 130\,000)\cdot x = 150\,000\)
\(200\,000x^2 - 130\,000x - 150\,000 = 0\)
\(4x^2 - 2{,}6x - 3 = 0\)
\(40x^2 - 26x - 30 = 0 \;\Rightarrow\; 20x^2 - 13x - 15 = 0\)
\(x = \dfrac{13 + \sqrt{169 + 1200}}{40} = \dfrac{13 + 37}{40} = \dfrac{50}{40} = 1{,}25\)
Ответ: \(r = 0{,}25 =\) 25%
Проверка таблицей при \(r = 25\%\):
| Год | Долг \(D_{k-1}\) | × 1,25 | Долг после % | Платёж | Остаток \(D_k\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | — | 200 000 |
| 1 | 200 000 | ×1,25 | 250 000 | 130 000 | 120 000 |
| 2 | 120 000 | ×1,25 | 150 000 | 150 000 | 0 ✓ |
Квадратное уравнение даёт два корня. Берём положительный \(x > 1\) (отрицательный не имеет смысла). Ответ — целое число процентов; если корень не «красивый», проверьте вычисления.
В июле взят кредит 18 млн руб. под 10% годовых.
В каждый июль долг на одну и ту же сумму меньше, чем в предыдущий.
Общая сумма выплат — 27 млн руб.
На сколько лет взят кредит?
При ежегодном уменьшении долга на \(S_0/n\):
\(D_k = S_0 - k\cdot\dfrac{S_0}{n} = S_0\!\cdot\!\dfrac{n-k}{n}\)
Общая сумма выплат:
\(\Sigma = S_0 + S_0\cdot r\cdot\dfrac{n+1}{2}\)
(тело кредита + все начисленные проценты)
\(27 = 18\!\cdot\!\Bigl(1 + 0{,}1\cdot\dfrac{n+1}{2}\Bigr)\)
\(\dfrac{27}{18} = 1 + \dfrac{n+1}{20}\)
\(1{,}5 = 1 + \dfrac{n+1}{20} \;\Rightarrow\; \dfrac{n+1}{20} = 0{,}5\)
\(n + 1 = 10 \;\Rightarrow\; n = 9\)
Ответ: 9 лет
Ежегодное уменьшение долга: \(18/9 = 2\) млн
\(p_k = D_{k-1}\cdot 0{,}1 + 2 = (18-2(k-1))\cdot 0{,}1 + 2\)
\(p_1 = 18\cdot 0{,}1+2=3{,}8\), \(p_9=2\cdot 0{,}1+2=2{,}2\)
Сумма: \(9\cdot(3{,}8+2{,}2)/2 = 9\cdot 3 = 27\) млн ✓
❌ Перепутать порядок: сначала платёж, потом проценты
При кредите проценты начисляются в январе — до платежа. Платёж вносится в феврале–июне — после начисления. Если поменять местами, долг к концу года выйдет меньше, чем должен.
❌ Путать кредит с вкладом (обратный порядок операций)
Вклад: сначала пополнение/снятие, потом множитель \((1{+}r)\). Кредит: сначала множитель \((1{+}r)\), потом вычесть платёж. Это ключевое отличие.
❌ Принять \(D_0 = 0\), а не \(D_0 = S_0\)
В июле года 0 долг равен взятой сумме кредита. Строка «Год 0» — обязательная первая строка таблицы с \(D_0 = S_0\). Без неё таблица будет ошибочной уже с первой строки.
❌ Взять только один корень квадратного уравнения
При нахождении ставки \(r\) из уравнения, у него два корня. Нужен тот, при котором \(x = 1+r > 1\) (т.е. \(r > 0\)). Отрицательный корень физически бессмысленен.
❌ Ошибка при льготном периоде: платёж ≠ телу долга
Если \(D_k = D_{k-1}\) (долг не меняется), это не значит, что платёж равен нулю. Платёж в этом случае равен начисленным процентам: \(p_k = D_{k-1}\cdot r\).
❌ Забыть проверить условие «каждый платёж не превышает X»
В задачах с таблицей долгов нужно найти максимальный из всех платежей и проверить именно его. Нельзя ограничиться проверкой только первого или последнего.
Кредит 165 000 руб. на 2 года, ставка 10%.
Кредит погашается двумя равными платежами.
Найдите сумму всех выплат.
Кредит 600 000 руб. на 3 года, ставка 10%.
В июле долг уменьшается на 200 000 руб. ежегодно.
Найдите общую сумму выплат.
Кредит \(S\) тыс. руб., ставка 20%, 3 года.
Долги: \(S\), \(0{,}8S\), \(0{,}4S\), \(0\).
Найдите наибольшее \(S\), при котором каждый платёж ≤ 840 тыс. руб.
Кредит \(S_0\), ставка 20%, 3 года.
Платежи в годы 1 и 2: по 300 тыс. руб.
Платёж в год 3: 417,6 тыс. руб.
Найдите \(S_0\).
Кредит 200 000 руб. на 2 года.
Платёж в год 1: 130 000 руб., в год 2: 150 000 руб.
Найдите годовую ставку \(r\) (в процентах).
Кредит 18 млн руб., ставка 10%.
Долг убывает на одну и ту же сумму каждый июль.
Общая сумма выплат — 27 млн руб.
Найдите срок кредита.
\(D_1 = p/1{,}1\); \(\;165\,000\cdot 1{,}1 = p + p/1{,}1 = 21p/11\)
\(p = 165\,000\cdot 11/21 \cdot 1{,}1 = 95\,000\)
Итого: 190 000 руб.
\(p_1 = 600\,000\cdot 1{,}1 - 400\,000 = 260\,000\)
\(p_2 = 400\,000\cdot 1{,}1 - 200\,000 = 240\,000\)
\(p_3 = 200\,000\cdot 1{,}1 = 220\,000\)
Итого: 720 000 руб.
\(p_1 = 0{,}4S\), \(p_2 = 0{,}56S\), \(p_3 = 0{,}48S\)
Наибольший: \(p_2 = 0{,}56S \le 840\)
\(S \le 1500\) тыс. руб.
Ответ: 1 500 000 руб.
\(1{,}728S_0 - 792 = 417{,}6\)
\(1{,}728S_0 = 1209{,}6 \;\Rightarrow\; S_0 = 700\) тыс.
Ответ: 700 000 руб.
\(20x^2 - 13x - 15 = 0\), \(x = 1{,}25\)
\(r = 0{,}25\)
Ответ: 25%
\(27 = 18(1 + 0{,}1\cdot\tfrac{n+1}{2})\)
\(n + 1 = 10 \;\Rightarrow\; n = 9\)
Ответ: 9 лет
Платёж: \(p_k = D_{k-1}(1+r) - D_k\)
Долг льготный: \(p_k = D_0\cdot r\)
Порядок в году:
| Январь | \(D_{k-1}\cdot(1+r)\) |
| Фев–Июнь | \(-\,p_k\) |
| Июль | \(D_k\) |
Составить таблицу с \(x=1+r\), получить уравнение (обычно квадратное), взять корень \(x>1\)
Все \(p_k = p\). Составить и решить уравнение из \(D_n=0\)
\(p_k = D_{k-1}\cdot r + S_0/n\) — убывающая прогрессия
\(\Sigma = S_0\!\cdot\!\bigl(1+r\cdot\tfrac{n+1}{2}\bigr)\)
Вычислить \(p_k\) через доли \(S_0\), найти наибольший платёж, составить неравенство
Заполнить таблицу с \(S_0\) как неизвестным, использовать \(D_n=0\)
Льготные годы: \(D_k = D_0\), \(p_k = D_0\cdot r\). Затем обычная схема
При равном убывании долга: \(\Sigma = S_0(1+r\cdot\tfrac{n+1}{2})\). Решить относительно \(n\)