Геометрия · 7 класс · §5, пп. 9–10

Градусная мера угла Измерение углов · Урок 5

Как числом выразить «раскрытость» угла?

5
Мотивация

Углы вокруг нас

Штурман задаёт курс — направление в градусах от севера. Без угловых мер корабль уйдёт не туда.
Архитектор рассчитывает наклон крыши в градусах: слишком мало — снег не сходит; слишком много — парусность.
Астроном указывает положение звезды угловыми координатами — без градусной меры телескоп не наведёшь.
Робот поворачивает руку ровно на заданное число градусов — точность зависит от точности угловых измерений.
§5, п. 9 · Определение

Градусная мера угла

Понятие
Каждому углу соответствует единственное число от 0° до 180° — его градусная мера. Градусная мера угла AOB обозначается ∠AOB.
Свойства
∠AOB > 0°   (угол всегда положителен)
∠AOB = ∠BOA   (порядок концов не важен)
Единица — градус
1° = 1⁄360 полного оборота
1° = 60′ (минут)
1′ = 60″ (секунд)
O A B ∠AOB
§5, п. 9 · Аксиома

Аксиома измерения углов

Если луч OC лежит внутри угла AOB, то
∠AOC + ∠COB = ∠AOB
O A B C ∠AOC ∠COB ∠AOB
Аналогично аксиоме измерения отрезков — «целое равно сумме частей»
§5, п. 9 · Классификация

Виды углов

Острый
от 0° до 90°
α
Прямой
α = 90°
Тупой
от 90° до 180°
α
Развёрнутый
α = 180°
180°
§5, п. 10 · Инструмент

Транспортир

Как пользоваться
Алгоритм
1
Совмести центр транспортира с вершиной угла
2
Одну сторону угла направь вдоль нулевой отметки
3
Прочитай число у второй стороны — это и есть ∠ в градусах
§5, п. 9 · Определение

Биссектриса угла

Определение
Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Если OC — биссектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠COB = ½·∠AOB
O A B C ∠AOC ∠COB биссектриса
Разбор задачи

Задача

Условие
Луч OC — биссектриса угла AOB. ∠AOC = x + 10°, ∠AOB = 3x − 20°. Найдите ∠AOB.
1
Биссектриса делит угол пополам: ∠AOC = ½ · ∠AOB
2
Составляем уравнение: x + 10 = ½·(3x − 20)
3
Умножаем на 2: 2x + 20 = 3x − 20  ⟹  x = 40
4
Ответ: ∠AOB = 3·40 − 20 = 100°
✓
Проверка: ∠AOC = 40+10 = 50° = 100°/2   ✓
Итог урока

Что запомнить

1
Каждому углу отвечает единственное число от 0° до 180° — его градусная мера.
2
Аксиома: если луч OC внутри ∠AOB, то ∠AOC + ∠COB = ∠AOB
3
Углы по величине: острый (от 0° до 90°) · прямой (90°) · тупой (от 90° до 180°) · развёрнутый (180°)
4
Транспортир — инструмент для измерения; основа шкалы — нулевая отметка у вершины.
5
Биссектриса делит угол пополам: ∠AOC = ∠COB = ½·∠AOB
Тренажёр · §5

Углы и транспортир

вариант 1