П1
7 класс · Повторение 6 класса · Урок 1 · УМК Виленкин
Обыкновенные
дроби
Числитель и знаменатель · Сравнение · Действия · Смешанные числа
Основные понятия

Что такое дробь?

Определение

Дробь ab показывает, сколько равных частей взято из целого, разбитого на b частей.

числитель →  a b  ← знаменатель
  • Знаменатель ≠ 0
  • Числитель < знаменателя → дробь правильная
  • Числитель ≥ знаменателя → дробь неправильная
Основное свойство дроби
ab = a · mb · m

Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число (≠ 0) — дробь не изменится.

Сокращение:  1218 = 23
Расширение:  35 = 915
Смешанное число

234 — целая часть 2, дробная 34

234 = 2·4 + 34 = 114
Сравнение дробей

Как сравнивать дроби?

Одинаковые знаменатели
37 < 57

Сравниваем числители. Больше та дробь, у которой числитель больше.

Разные знаменатели
34 и 57
НОК(4, 7) = 28
2128 > 2028

Приводим к общему знаменателю, затем сравниваем числители.

Через единицу
54 > 1
37 < 1
66 = 1

Правильная дробь всегда меньше 1, неправильная — ≥ 1.

Алгоритм приведения к общему знаменателю
01
Найти НОК знаменателей
02
Найти доп. множители
03
Умножить числители на свои множители
04
Сравнить новые числители
Действия с дробями

Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели
ab ± cb = a ± cb
311 + 511 = 811
Разные знаменатели
01
Общий знаменатель
02
Доп. множители
03
Сложить числители
04
Сократить
14 + 26 = 312 + 412 = 712
Смешанные числа

Складываем целые с целыми, дробные с дробными. При вычитании может потребоваться заём.

213 + 114 = 3 + 412 + 312 = 3712
──────────────────────────
312 − 123 = 156
Помни о займе!

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занимаем единицу из целой части: 1 = bb

Действия с дробями

Умножение дробей

Правило умножения
ab · cd = a · cb · d

Числители умножаем на числители,
знаменатели — на знаменатели.

Сокращение до умножения

Удобно сокращать «крест-накрест».

49 · 38 = 19 · 32 = 318 = 16
Смешанные числа → перевести!

Перед умножением обязательно переводим смешанные числа в неправильные дроби.

123 · 214
= 53 · 94
= 51 · 34 = 154 = 334
Умножение на целое число
37 · 14 = 3 · 147 = 427 = 6
Действия с дробями

Деление дробей

Взаимно обратные числа

Два числа взаимно обратны, если их произведение равно 1.

ab · ba = 1
37 и 73 — взаимно обратные
5 и 15 — взаимно обратные
Правило деления
ab ÷ cd = ab · dc

Делить на дробь = умножать на обратную дробь.

Алгоритм деления
01
Смешанные числа → неправильные дроби
02
Заменить ÷ на ·, делитель перевернуть
03
Сократить (до умножения, если возможно)
04
Перемножить, привести к смешанному
214 ÷ 112
= 94 ÷ 32 = 94 · 23
= 1812 = 32 = 112
Самопроверка

Проверь себя

Нажми на карточку, чтобы увидеть ответ
01 58 + 34 =
58 + 68 = 118 = 138
02 213 − 156 =
146 − 116 = 36 = 12
03 23 · 112 =
23 · 32 = 66 = 1
04 334 ÷ 114 =
154 ÷ 54 = 154 · 45 = 3
05 Сравни: 57 ○ 35
2535 > 2135 → 57 > 35
06 Перевести: 323
(3 · 3 + 2) / 3 = 113
Итоги повторения

Ключевые идеи

Главные правила
  • Основное свойство: числитель и знаменатель умножаем/делим на одно число
  • Сложение/вычитание — только с общим знаменателем
  • Умножение — числители на числители, знаменатели на знаменатели
  • Деление — умножение на обратную дробь
  • Смешанные числа перед умножением и делением — переводим в неправильные
Типичные ошибки
  • Складывать знаменатели при сложении дробей
  • Забывать переводить смешанные числа перед умножением
  • Не сокращать результат до конца
  • Забывать про «заём» при вычитании смешанных чисел
  • Не переворачивать делитель при делении
Гордеев С.В. · gordeev-math.ru
⌂ На главную 1 / 8