§1. Числа и выражения

Алгебра 7 · Глава I

§1. Числа
и выражения

Рациональные и иррациональные числа, числовые и буквенные выражения, сравнение значений.

      7 класс
      ·
      Макарычев Ю.Н.
      ·
      §1, стр. 5–19
    

Разминка · Урок 1

Вопросы на засыпку

Нажмите на карточку, чтобы увидеть ответ

Является ли число π = 3,1415926… рациональным?

Нет! Это иррациональное число — его десятичная запись бесконечна и непериодична. Рациональное число всегда можно записать в виде m/n.

Является ли число −7 натуральным? Целым? Рациональным?

Натуральным — нет. Целым — да. Рациональным — да, ведь N ⊂ Z ⊂ Q.

Имеет ли смысл выражение 35 : (4 · 2 − 8)?

Нет! Знаменатель равен 4·2 − 8 = 0, а делить на нуль нельзя. Выражение не имеет смысла.

Теория · §1

Виды чисел

Натуральные · N

1, 2, 3, 4, 5, …

Используются при счёте. От лат. naturalis — естественный.

Целые · Z

…, −2, −1, 0, 1, 2, …

Натуральные + противоположные им + нуль. От нем. Zahl — число.

Рациональные · Q

целые + дробные

Положительные и отрицательные дроби. От франц. quotient — отношение.

Цепочка включений

      N ⊂ Z ⊂ Q
    

Теория · §1

Множества и подмножества

Определение

Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то B называют подмножеством A. Пишут: B ⊆ A

Запись принадлежности

2 ∈ N (2 — натуральное)
−2 ∉ N (−2 не натуральное)
−2 ∈ Z (−2 — целое)
N ⊂ Z ⊂ Q

Диаграмма Эйлера

Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным

Теория · §1

Запись рациональных чисел

Главное свойство

Всякое рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, n — натуральное.

Примеры записей

1/2 = 2/4 = 40/80
−0,7 = −7/10 = −14/20
10,3 = 103/10 = 515/50
5 = 5/1 = 20/4

Несократимая дробь

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда есть дробь с наименьшим знаменателем — несократимая.

Для целого числа знаменатель = 1

Признак принадлежности к Q

Число рационально тогда и только тогда, когда его можно записать как конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь.

Теория · §1

Десятичные дроби

Конечная дробь

Деление завершается с остатком 0.

1/8 = 0,125
1¾ = 1,75
−1/40 = −0,025

Бесконечная периодическая дробь

Деление никогда не заканчивается. Группа цифр — период — повторяется.

8/37 = 0,(216)
7/12 = 0,58(3)
5⅙ = 5,1(6)

Запись периода

Период пишут один раз, заключая в круглые скобки: 8/37 = 0,(216). Читают: «нуль целых, двести шестнадцать в периоде».

Пример · §1

Перевод дроби в десятичную

1/8 — конечная дробь

Делим 1 на 8:

Шаг 1

10 : 8 = 1 (ост. 2)

Шаг 2

20 : 8 = 2 (ост. 4)

Шаг 3

40 : 8 = 5 (ост. 0)

1/8 = 0,125

8/37 — периодическая дробь

Остатки 8 → 6 → 23 → 8 → 6 → 23 … повторяются!

8/37 = 0,216216…
Период: 216

8/37 = 0,(216)

Ещё примеры

7/12 = 0,58(3)
−5/11 = −0,(45)
0,(9) = 1

Теория · §1

Иррациональные числа

Определение

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами.

Примеры иррациональных чисел

π = 3,1415926…
√2 = 1,4142135…
3,010100010001…
−5,020022000222…

Нельзя представить в виде m/n!

Действительные числа R

Q

          Рациональные

+

I

          Иррациональные

=

R

          Действительные

В 7 классе работаем только с рациональными числами.

Теория · §1

Числовые выражения

Определение

Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков действий и скобок.

Число, которое получается в результате выполнения всех действий, называют значением выражения.

Примеры числовых выражений

43 : 5
9,6 − 3 · 1,2
5 · (7,4 − 6,1)
16 · 2 + 7

Вычисление значения

Найти значение выражения 12 · 6 − 35 : 7:

1

12 · 6 = 72

2

35 : 7 = 5

3

72 − 5 = 67

Теория · §1

Когда выражение не имеет смысла

Главное правило

Если в выражении есть деление на нуль, то выражение не имеет смысла — на нуль делить нельзя.

Не имеют смысла — знаменатель = 0

          354·2 − 8
          = 35/0 — нет смысла
        

          0,570,8 − 0,4·2
          = 0,57/0 — нет смысла
        

          112 + 4·(−3)
          = 1/0 — нет смысла
        

Имеют смысл — знаменатель ≠ 0

          354·2 + 8
          = 35/16 ✓
        

          0,570,8 + 0,4·2
          = 0,57/1,6 ✓
        

          12·6 − 35:7
          = 67 ✓
        

Теория · §1

Выражения с переменными

Переменная

Букву, вместо которой можно подставлять числа, называют переменной, а само выражение — выражением с переменной.

Примеры

60t — путь за t часов
ab — площадь прямоуг.
x(x + 1)
ay − 4

Значение выражения

Если подставить вместо каждой переменной числовое значение, получается числовое выражение. Его значение — это значение выражения с переменными при данных значениях переменных.

Пример: ab при a=8, b=11

ab = 8 · 11 = 88
ab = 25 · 4 = 100

Теория · §1

Формулы

Выражения с переменными используются для записи формул.

Формула чётного числа

m = 2n

где n — целое число

Формула нечётного числа

m = 2n + 1

где n — целое число

Кратное числу k

m = kn

Кратное 3: m = 3n

Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение b/(b−3) не имеет смысла при b = 3 (деление на нуль). При любом другом значении b смысл есть. Допустимые значения: b ≠ 3.

Теория · §1

Сравнение значений выражений

Результат сравнения

Для любых двух числовых выражений можно установить: равны их значения или нет; если не равны — какое больше, а какое меньше. Результат записывают в виде равенства или неравенства.

Пример неравенства

1800 : 48 = 37,5
2100 : 60 = 35
1800:48 > 2100:60

Урожайность на первом участке выше

Двойное неравенство

Два неравенства можно записать в виде двойного неравенства:

86 < m < 87

Масса шарика больше 86 г, но меньше 87 г

Самостоятельная работа · §1

самостоятельная работа

Задачи на применение

Задача 1. При каких значениях переменной выражение 18y не имеет смысла?

При y = 0 — знаменатель обращается в нуль. При y ≠ 0 выражение имеет смысл.

Задача 2. При каких значениях x выражение x + 32x − 6 не имеет смысла?

Знаменатель 2x − 6 = 0 при x = 3. При x = 3 выражение не имеет смысла. ОДЗ: x ≠ 3.

Задача 3. Является ли число 0,(9) рациональным? Чему оно равно?

Да, рациональным. 0,(9) = 0,999… = 1. Дроби с периодом 9 — другая запись дробей с периодом 0.

Задача 4. Запишите формулу числа, кратного 7. Найдите два трёхзначных числа, кратных 7.

m = 7n. Например: n = 15 → m = 105; n = 20 → m = 140.

Разбор задачи · §1

Разбор: сравнение выражений

Задача: сравнить выражения 2a и a + 4 при разных значениях a.

При a = 0

2a = 0
a + 4 = 4
2a < a + 4

При a = 4

2a = 8
a + 4 = 8
2a = a + 4

При a = 10

2a = 20
a + 4 = 14
2a > a + 4

Вывод

Результат сравнения выражений с переменными зависит от значения переменной. При a = 4 выполняется равенство, при a ≠ 4 — неравенство.

Итоги · Урок 1

Итоги урока

Ключевые понятия

Числа: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Рац. число: m/n (m ∈ Z, n ∈ N)
Конечные и периодические дроби — рациональны
Непериодические дроби — иррациональны
Числовое выражение и его значение
Выражение без смысла: деление на 0
Переменная, значение при данных переменных
Равенство и неравенство, двойное неравенство

Домашнее задание

Задание	Номера
Рациональные числа	1, 3, 5, 6
Числовые выражения	14, 16, 18
Переменные	37, 41, 57
★ Повышенный уровень	26, 45, 61

Следующий урок

§2. Тождества. Тождественные преобразования — что такое тождество и как выполнять тождественные преобразования выражений.

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Тренажёр · §1