§2. Преобразование выражений

Алгебра 7 · Глава I

§2. Преобразование
выражений

Свойства арифметических действий, тождества, подобные слагаемые и раскрытие скобок.

      7 класс
      ·
      Макарычев Ю.Н.
      ·
      §2, стр. 23–31
    

Разминка · Урок 2

Вспомним §1 и разогреемся

Нажмите на карточку, чтобы увидеть ответ

Можно ли записать в виде дроби m/n число −0,6? Какое это число — рациональное или иррациональное?

Да: −0,6 = −3/5. Это рациональное число, так как представляется в виде m/n (m ∈ Z, n ∈ N).

Вычислите значение выражения: (3a − 5) при a = 4.

3 · 4 − 5 = 12 − 5 = 7.

Изменится ли результат сложения 17 + 38, если поменять слагаемые местами: 38 + 17?

Нет, результат одинаков: 17 + 38 = 38 + 17 = 55. Это переместительное свойство сложения — тема сегодняшнего урока!

Верно ли, что 3 · (4 + 5) = 3 · 4 + 3 · 5?

Да! 3 · 9 = 27 и 12 + 15 = 27. Это распределительное свойство умножения.

Теория · §2 · п. 5

Переместительное и сочетательное свойства

Переместительное (коммутативность)

Сложение

a + b = b + a

Слагаемые можно переставить — сумма не изменится

Умножение

ab = ba

Множители можно переставить — произведение не изменится

13 + 8 = 8 + 13 = 21
4 · 7 = 7 · 4 = 28

Сочетательное (ассоциативность)

Сложение

(a + b) + c = a + (b + c)

Порядок группировки слагаемых не влияет на сумму

Умножение

(ab)c = a(bc)

Порядок группировки множителей не влияет на произведение

(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12
(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24

Теория · §2 · п. 5

Распределительное свойство

Распределительное свойство умножения относительно сложения

a(b + c) = ab + ac

Множитель можно «распределить» по каждому слагаемому в скобке — и наоборот, вынести за скобку общий множитель.

Умножение — раскрытие скобок

5 · (3 + 4) = 5·3 + 5·4
= 15 + 20 = 35
a · (b − c) = ab − ac

Вынесение за скобки

12x + 8x = x·(12 + 8)
= x · 20 = 20x
ab + ac = a(b + c)

Пример · §2 · п. 5

Рациональные вычисления: переместительное и сочетательное

Пример 1: удобная группировка (сложение)

Вычислить: 1,23 + 13,5 + 4,27

Шаг 1 — переставим

1,23 + 4,27 + 13,5

Шаг 2 — сгруппируем

(1,23 + 4,27) + 13,5

Шаг 3 — вычислим

5,5 + 13,5 = 19

Пример 2: удобная группировка (умножение)

Вычислить: 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5

Шаг 1 — переставим

(0,25 · 64) · (1,8 · 0,5)

Шаг 2 — 0,25·64

= 16

Шаг 3 — 1,8·0,5

= 0,9

Шаг 4

16 · 0,9 = 14,4

Пример · §2 · п. 5

Рациональные вычисления: распределительное

Пример 3: «удобные» слагаемые

Вычислить: 3,27 − 6,5 − 2,5 + 1,73

Перегруппируем

(3,27 + 1,73) + (−6,5 − 2,5)

Считаем

5 + (−9)

Ответ

−4

Пример 4: вынесение за скобки

Вычислить: 36 · (14 − 518)

Раскроем скобки

36 · 14 − 36 · 518

Считаем

9 − 10

Ответ

−1

Теория · §2 · п. 6

Тождества

Тождественно равные выражения

Два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

Тождество

Равенство, верное при любых допустимых значениях переменных, называют тождеством. Знак тождества: ≡

Примеры тождеств

a + b ≡ b + a
(a + b) + c ≡ a + (b + c)
a(b + c) ≡ ab + ac

Верны при любых значениях переменных

Не является тождеством

a + 2 = 7
(истинно только при a = 5)

2a = a + 1
(истинно только при a = 1)

Верны только при конкретных значениях

Теория · §2 · п. 6

Тождественные преобразования

Определение

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.

Тождественные преобразования используются для упрощения вычислений и преобразования выражений.

Перестановка слагаемых

1,5 + 7 + 3,5
= (1,5 + 3,5) + 7
= 5 + 7 = 12

Раскрытие скобок

3(x + 4)
= 3·x + 3·4
= 3x + 12

Вынесение за скобки

5a + 15
= 5·a + 5·3
= 5(a + 3)

Теория · §2 · п. 6

Подобные слагаемые

Определение

Слагаемые, у которых одинаковые буквенные части (или оба являются числами), называют подобными слагаемыми.

Примеры подобных

5x и 2x — буквенная часть x
3a² и −7a² — буквенная часть a²
4 и −9 — свободные члены

Не подобные

5x и 5y — разные буквы
3a и 3a² — разные степени

Правило приведения подобных

Коэффициенты подобных слагаемых складываются, буквенная часть остаётся прежней.

bx + cx = (b + c)x

Основание — распределительное свойство

5x + 2x = (5 + 2)x = 7x
5x − 2x = (5 − 2)x = 3x

Пример · §2 · п. 6

Приведение подобных слагаемых

Пример 5 — одна переменная

Упростить: 5x + 2x − 3x

Все слагаемые подобны

буквенная часть: x

Складываем коэффициенты

(5 + 2 − 3) · x

Ответ

4x

Пример 6 — несколько переменных

Упростить: 3a + 7b − a + 4b

Группируем по буквенным частям

(3a − a) + (7b + 4b)

Приводим подобные

2a + 11b

Ответ

2a + 11b

Ещё примеры

      6y − 10y + 3y = −y
      4m + 5n − 2m − 3n = 2m + 2n
      8x + 3 − 2x − 7 = 6x − 4
    

Теория · §2 · п. 6

Раскрытие скобок

Плюс перед скобками

+(a + b) = +a + b

Знаки в скобках не изменяются.

2a + (b − 3c)
= 2a + b − 3c

Минус перед скобками

−(a + b) = −a − b

Знаки в скобках меняются на противоположные.

a − (4b − c)
= a − 4b + c

Запомни

«+» перед скобками — снять скобки, знаки оставить. «−» перед скобками — снять скобки, знаки сменить.

Пример · §2 · п. 6

Примеры раскрытия скобок

Плюс перед скобками — знаки не меняем

5x + (3x − 2)
= 5x + 3x − 2
= 8x − 2

(a + b) + (a − b)
= a + b + a − b
= 2a

Минус перед скобками — знаки меняем!

5x − (3x − 2)
= 5x − 3x + 2
= 2x + 2

(a + b) − (a − b)
= a + b − a + b
= 2b

Полный разбор: упростить 3a − (4b − c) + 2(b + 3c)

      = 3a − 4b + c + 2b + 6c
       =  3a − 2b + 7c
    

Самостоятельная работа · §2

самостоятельная работа

Свойства действий и тождества

Задача 1. Вычислите удобным способом: 2,35 + 7,8 + 0,65 + 2,2

(2,35 + 0,65) + (7,8 + 2,2) = 3 + 10 = 13

Задача 2. Вычислите: 0,125 · 17 · 8

0,125 · 8 = 1; 1 · 17 = 17

Задача 3. Является ли равенство 3(x − 2) = 3x − 6 тождеством? Обоснуйте.

Да, является тождеством — получается раскрытием скобок (распределительное свойство): 3·x − 3·2 = 3x − 6. Верно при любом x.

Задача 4. Является ли равенство 5a + 3 = 8a тождеством?

Нет. При a = 1: 5 + 3 = 8 — верно, но при a = 2: 13 ≠ 16. Равенство выполняется только при a = 1, а не при любом a.

Самостоятельная работа · §2

самостоятельная работа

Подобные слагаемые и скобки

Задача 5. Приведите подобные слагаемые: 7x − 3x + 5x − 2x

(7 − 3 + 5 − 2)x = 7x

Задача 6. Упростите: 4a + 3b − 6a − b + 2a

(4 − 6 + 2)a + (3 − 1)b = 0 · a + 2b = 2b

Задача 7. Раскройте скобки и упростите: 6y − (2y − 5) + (y + 3)

6y − 2y + 5 + y + 3 = (6 − 2 + 1)y + (5 + 3) = 5y + 8

Задача 8. ★ Упростите: 3(2x − 1) − 2(x + 4)

6x − 3 − 2x − 8 = (6 − 2)x + (−3 − 8) = 4x − 11

Разбор задачи · §2

Разбор: раскрытие скобок и подобные

Упростить: 3(2x − 1) − 2(x + 4)

Шаг 1 — раскрываем первую скобку

3 · 2x − 3 · 1 = 6x − 3

Шаг 2 — раскрываем вторую скобку (минус!)

−2 · x − 2 · 4 = −2x − 8

Шаг 3 — записываем вместе

6x − 3 − 2x − 8

Шаг 4 — приводим подобные

(6 − 2)x + (−3 − 8) = 4x − 11

Алгоритм упрощения

Раскрыть все скобки (следить за знаком!)
Выделить подобные слагаемые
Сложить коэффициенты подобных
Записать результат

Типичные ошибки

−(x − 3) ≠ −x − 3
правильно: −x + 3

2(a + b) ≠ 2a + b
правильно: 2a + 2b

Итоги · Урок 2

Итоги урока

Ключевые понятия

Переместительное: a+b = b+a, ab = ba
Сочетательное: (a+b)+c = a+(b+c)
Распределительное: a(b+c) = ab+ac
Тождество — равенство, верное при любых значениях переменных
Тождественные преобразования — замена выражения тождественно равным
Подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью
«+» перед скобками — знаки не меняются
«−» перед скобками — знаки меняются

Домашнее задание

Задание	Номера
Свойства действий	65, 67, 70
Тождества	78, 80, 82
Подобные слагаемые	93, 95, 98
Раскрытие скобок	103, 107, 110
★ Повышенный уровень	114, 118

Следующий урок

§3. Степень с натуральным показателем — что такое степень числа, как возводить в степень и упрощать степенные выражения.

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Тренажёр · §2

Тренажёр: преобразование выражений

Нажмите «Новый вариант», чтобы получить 5 заданий.