§3+. Задачи с уравнениями

Алгебра · 7 класс · Макарычев · §3 · п. 9

§3+. Задачи
с уравнениями

Числовые · Геометрические · Движение · Работа · Проценты · Возраст

6 типов задач Разборы из учебника Самостоятельная работа

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Памятка · Алгоритм решения

Универсальный алгоритм

1

Обозначить неизвестное буквой x (или другой). Чётко сформулировать, что принято за x.

2

Выразить остальные неизвестные величины через x по условию задачи.

3

Составить уравнение — найти в условии соотношение, связывающее выраженные величины.

4

Решить уравнение с помощью тождественных преобразований.

5

Проверить корень в условии задачи (не в уравнении!), записать ответ словами.

Ключевые слова → математика

«в 3 раза больше»

→

3x

«на 7 больше»

→

x + 7

«в 2 раза меньше»

→

x / 2

«на 15% больше»

→

1,15x

«стало поровну»

→

A = B

«вместе»

→

A + B = ...

Золотое правило проверки

Подставляйте ответ в условие задачи, а не в уравнение. Уравнение могло быть составлено с ошибкой!

Обзор · 6 типов задач

Типы задач в §3

num

Числовые

Связи между числами, долями, частями

x + 2x = 86 → x = 40

geo

Геометрические

Периметр, длины сторон, соотношения в фигуре

x + (x+2,9)·2 = 16

s=vt

Движение

Скорость · время = расстояние. Навстречу, вдогонку, по течению

s = v · t

prd

Работа

Производительность, совместная работа, план/факт

50·n = 60·(n−1)

%

Проценты

Изменение на %, соотношение частей

x + 1,1x = 126 000

age

Возраст

«n лет назад», «через n лет», кратность возрастов

y−2 = 2(x−2)

★ Многие задачи сочетают несколько типов. Главное — правильно обозначить неизвестное и найти в условии равенство.

Тип 1 · Числовые задачи

Числовые задачи: теория и разбор

Как действовать

Принять за x наименьшую или неизвестную часть
Выразить остальные части через x («в 2 раза больше» → 2x)
Использовать «итого» или заданное соотношение частей

Задача 167 · Старинная задача

Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Все вместе дали 132 рупии. Сколько дал каждый?

Решение задачи 167

Пусть 1-й дал x рупий.
2-й: 2x (вдвое больше)
3-й: 6x (втрое больше второго)
4-й: 24x (вчетверо больше третьего)

Уравнение:
x + 2x + 6x + 24x = 132
33x = 132
x = 4

Ответ: 4, 8, 24, 96 рупий
Проверка: 4+8+24+96 = 132 ✓

Тип 1 · Практика

Числовые задачи: ещё разборы

Задача 163 · Кассы кинотеатра

В одной кассе продали на 36 билетов больше, чем в другой. Всего продано 392 билета. Сколько продали в каждой кассе?

Пусть

В 1-й кассе x + 36 билетов, во 2-й — x

Уравнение

(x + 36) + x = 392 → 2x = 356 → x = 178

Ответ

1-я касса: 214, 2-я касса: 178

Задача 170 · Компьютеры для школ

Три школы получили 70 компьютеров. 2-я школа получила на 6 больше 1-й, 3-я — на 10 больше 2-й. Сколько получила каждая?

Пусть

1-я школа — x, 2-я — x+6, 3-я — x+16

Уравнение

x + (x+6) + (x+16) = 70 → 3x+22 = 70 → x = 16

Ответ

16, 22 и 32 компьютера

Тип 2 · Геометрические задачи

Геометрические задачи

Формулы — запомни

Фигура	Периметр	Площадь
Прямоугольник	P = 2(a + b)	S = ab
Квадрат	P = 4a	S = a²
Треугольник	P = a + b + c	—
Равнобедренный	P = 2a + b	—

Задача 165 · Треугольник

Периметр треугольника равен 16 см. Две стороны равны между собой, каждая на 2,9 см больше третьей. Найдите стороны.

Пусть 3-я (меньшая) сторона = x
Две равные стороны = x + 2,9
x + (x+2,9) + (x+2,9) = 16
3x + 5,8 = 16 → x = 3,4 см
Ответ: 3,4 см; 6,3 см; 6,3 см ✓

Задача 166 · Два тоннеля

Протяжённость трассы 6940 м. Два тоннеля: длина одного на 17 м больше другого. Наземная часть 703 м. Найдите длину каждого тоннеля.

Пусть меньший тоннель — x, больший — x + 17
x + (x+17) + 703 = 6940 → 2x + 720 = 6940 → 2x = 6220 → x = 3110 м
Ответ: тоннели 3110 м и 3127 м. Проверка: 3110+3127+703 = 6940 ✓

Тип 3 · Задачи на движение

Задачи на движение: формулы и схемы

Основные формулы

s = v · t v = s/t t = s/v

s — расстояние, v — скорость, t — время. Если единицы разные — привести к одной системе.

Движение по течению и против

Ситуация	Скорость
По течению	v + u
Против течения	v − u
v — скорость судна, u — скорость течения

3 типа движения — схемы

Навстречу: A →····→ B
d₁ + d₂ = расстояние AB

Вдогонку: B→···→A (A впереди)
d_быстрый = d_медленный + зазор

Одно и то же расстояние:
v₁·t₁ = v₂·t₂ = s

Удобная таблица для составления уравнения

	Скорость	Время	Расстояние
Объект 1	v₁	t₁	v₁·t₁
Объект 2	v₂	t₂	v₂·t₂

Тип 3 · Разбор · Вдогонку

Задача 177 · Из Москвы в Вологду

Условие — старинная задача

Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек — по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Составляем уравнение

Пусть n — число дней с момента выхода второго.

	Скорость	Время	Расстояние
1-й (вышел раньше)	40	n + 1	40(n + 1)
2-й (догоняет)	45	n	45n

Когда второй догонит: расстояния равны.

Решение

Уравнение

45n = 40(n + 1)

Раскрываем

45n = 40n + 40

Переносим

5n = 40 → n = 8

Ответ: второй догонит через 8 дней.
Расстояние: 45·8 = 360 вёрст.
Проверка: 40·9 = 360 ✓

Тип 3 · Разбор · По течению

Задача 175 · Теплоход и течение

Условие

Теплоход проходит за 9 часов по течению тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Составляем уравнение

Пусть v — собственная скорость теплохода. Пути равны.

	Скорость	Время	Расстояние s
По течению	v + 2	9	(v + 2) · 9
Против течения	v − 2	11	(v − 2) · 11

Пути равны: (v + 2)·9 = (v − 2)·11

Решение

Раскрываем

9v + 18 = 11v − 22

Переносим

18 + 22 = 11v − 9v

Находим

2v = 40 → v = 20 км/ч

Ответ: 20 км/ч.
Проверка: по течению 22·9 = 198 км;
против течения 18·11 = 198 км ✓

Тип 4 · Работа и производительность

Задачи на план и производительность

Ключевая идея

За n дней при скорости v сделали: v · n = S
Если ускорились — сделали то же за меньше дней
Связь «планово» и «фактически» через одно и то же S

Задача 659 · Луг

Бригада скашивала по 60 га в день вместо 50 га по плану и закончила работу на 1 день быстрее. Какова площадь луга?

Решение

Пусть n — плановое число дней.

	Скорость	Дней	Площадь S
По плану	50	n	50n
Фактически	60	n − 1	60(n − 1)

Уравнение (S одна)

50n = 60(n − 1)

Раскрываем

50n = 60n − 60 → 10n = 60

Ответ

n = 6 дней → S = 50·6 = 300 га

Тип 5 · Задачи на проценты

Задачи на проценты

Как записывать проценты

Словами	Как x
На 15% больше x	1,15x
На 10% меньше x	0,9x
Составляет 80% от x	0,8x
На 10% выше первого Q₁	1,1·Q₁

В итоге: x + (процент от x) = итого
Или: x + 1,1x = итого → 2,1x = итого

Задача 169 · Квартальная прибыль

Прибыль за два квартала — 126 000 р. Прибыль во II квартале на 10% выше, чем в I. Прибыль каждого квартала?

Пусть

I квартал = x, II квартал = 1,1x

Уравнение

x + 1,1x = 126 000 → 2,1x = 126 000

Ответ

I кв: 60 000 р., II кв: 66 000 р.

Задача 168 · Рабочие и детали

Двое рабочих изготовили 86 деталей. Первый на 15% больше второго.

2-й = x, 1-й = 1,15x
x + 1,15x = 86 → 2,15x = 86 → x = 40
Ответ: 40 и 46 деталей

Тип 6 · Задачи на возраст

Задачи на возраст

Как работать с возрастом

Обозначить возраст сейчас (x и y)
«n лет назад» → x − n и y − n
«Через n лет» → x + n и y + n
Из двух условий составить систему (или одно выразить через другое)

Задача (тип №122) · Брат и сестра

2 года назад брат был старше сестры в 2 раза. 8 лет назад — в 5 раз. Сколько им сейчас лет?

Решение

Пусть сестре сейчас x лет, брату y лет.

2 года назад: y − 2 = 2(x − 2)
→ y = 2x − 2 (I)

8 лет назад: y − 8 = 5(x − 8)
→ y = 5x − 32 (II)

Приравниваем (I) и (II)

2x − 2 = 5x − 32 → 3x = 30 → x = 10

Ответ

Сестре 10 лет, брату 18 лет

Проверка: 2 г. назад: 16 = 2·8 ✓ | 8 лет назад: 10 = 5·2 ✓

★ Повышенный уровень · Разбор

Сложная задача: ремонтная бригада

Задача 178

Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб добавил 4 малярей и перевёл 2 плотников на другой объект. В результате маляров стало в 4 раза больше плотников. Сколько маляров и плотников было первоначально?

Составляем уравнение

Пусть плотников x, маляров 2,5x.

	Было	Стало
Плотники	x	x − 2
Маляры	2,5x	2,5x + 4

Условие: 2,5x + 4 = 4(x − 2)

Решение

Раскрываем

2,5x + 4 = 4x − 8

Переносим

4 + 8 = 4x − 2,5x → 1,5x = 12

Находим

x = 8 (плотников)

Ответ

Плотников: 8, маляров: 2,5·8 = 20

Проверка: стало 24 малярей и 6 плотников, 24/6 = 4 ✓

Стратегия · Как читать задачу

Как распознать тип задачи

Сигналы в условии

Слова в условии	Тип
«скорость», «км/ч», «за n часов», «расстояние»	Движение
«периметр», «сторона», «длина», «прямоугольник»	Геометрия
«процент», «на 15% больше», «составило 80%»	Проценты
«лет назад», «через лет», «был старше в n раз»	Возраст
«план/факт», «вместо ... га делали», «норма»	Работа
«вдвое», «всего», «разделить на части»	Числовая

5 шагов распознавания

1

Прочитать условие целиком, не торопясь

2

Выделить ключевые слова (движение, проценты…)

3

Начертить схему или таблицу — это снижает ошибки

4

Найти связующее условие — что равно чему

5

Если не видно x — попробовать обозначить другое

Самостоятельная работа 1

самостоятельная работа

Числовые и геометрические задачи

Нажмите на задачу, чтобы увидеть решение.

№ 1. На выборах голоса за двух кандидатов распределились в отношении 5:7. Всего голосовали 252 человека. Сколько голосов набрал победитель?

Пусть голоса: 5k и 7k. Тогда 5k + 7k = 252 → 12k = 252 → k = 21.
Победитель (7k): 147 голосов. Проверка: 105 + 147 = 252 ✓

№ 2. Периметр прямоугольника 70 см. Длина на 5 см больше ширины. Найдите стороны.

Ширина = x, длина = x + 5. Периметр: 2(x + x + 5) = 70 → 2(2x + 5) = 70 → 4x + 10 = 70 → x = 15.
Стороны: 15 см и 20 см. Проверка: 2(15+20) = 70 ✓

№ 3. ★ На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти. На шапку ушло в 5 раз меньше, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько г на каждое изделие?

Шапка = x, свитер = 5x, шарф = x − 5.
5x + x + (x − 5) = 555 → 7x = 560 → x = 80 г (шапка).
Свитер: 400 г, шапка: 80 г, шарф: 75 г. Проверка: 400+80+75 = 555 ✓

№ 4. ★ Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше боковой стороны. Периметр 43 см. Найдите боковую сторону.

Боковая сторона = x, основание = x + 7.
x + x + (x + 7) = 43 → 3x + 7 = 43 → 3x = 36 → x = 12 см.
Боковая: 12 см, основание: 19 см. Проверка: 12+12+19 = 43 ✓

Самостоятельная работа 2 · Итоги

движение · проценты

№ 5. Два пешехода вышли навстречу из городов, 38 км. Встреча через 4 ч. Первый прошёл на 2 км больше. Скорости?

v₁·4 + v₂·4 = 38 → v₁ + v₂ = 9,5
v₁·4 − v₂·4 = 2 → v₁ − v₂ = 0,5
Складываем: 2v₁ = 10 → v₁ = 5 км/ч, v₂ = 4,5 км/ч

№ 6. За I и II кварталы фирма получила 126 000 р. Прибыль II квартала на 10% выше I. Прибыль каждого квартала?

I кв = x, II кв = 1,1x. x + 1,1x = 126 000 → 2,1x = 126 000 → x = 60 000.
I квартал: 60 000 р., II квартал: 66 000 р.

№ 7. ★ Скашивая по 80 га (вместо 60 га по плану), бригада закончила на 1 день раньше. Площадь луга?

60n = 80(n − 1) → 60n = 80n − 80 → 20n = 80 → n = 4 дня (план).
Площадь: 60 · 4 = 240 га. Проверка: 80 · 3 = 240 ✓

Что умеем после урока

Распознавать тип задачи по ключевым словам
Составлять таблицу или схему до уравнения
Решать задачи 6 типов с помощью линейного уравнения
Проверять ответ в условии задачи

Домашнее задание

Тема	Номера
Числовые	163, 167
Геометрия	165, 166
Движение	175, 177
Работа	174, 659
Проценты	168, 169
★ Повышенный	178, 180

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Тренажёр · Случайные задачи