Что такое функция

Алгебра 7 · §4 · п.12

Что такое
функция

Правило соответствия, область определения и область значений.
Три способа задания функции: формула, таблица, словесное описание.

определение функции область определения область значений способы задания

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Идея

Зависимость одной величины от другой

В реальном мире одни величины зависят от других. Каждому значению одной величины отвечает определённое значение другой.

Физика

Путь зависит от времени:
s = v·t
Чем больше t, тем больше s.

Геометрия

Площадь квадрата от стороны:
S = a²
Сторона → площадь.

Экономика

Стоимость от количества:
C = p·n
Цена × штуки.

Природа

Температура воздуха в течение дня зависит от времени суток.

Ключевая идея

Нас интересует правило, по которому каждому значению одной переменной ставится в соответствие ровно одно значение другой переменной.

Схема зависимости

Вход x

1
2
3
4

f(x) = 2x

Выход y

2
4
6
8

Каждому числу x ставится в соответствие ровно одно число y = 2x.

Обозначения

Символ	Читается
y = f(x)	y есть f от x
f(3)	значение функции при x = 3
x	аргумент (независимая переменная)
y	функция (зависимая переменная)

Является ли зависимость «возраст человека → рост человека» функцией?

Нет. Люди одного возраста могут иметь разный рост. Зависимость есть, но это не функция — нет однозначности.

Определение

Функция — точное определение

Определение

Функция — это правило, по которому каждому значению переменной x из множества X ставится в соответствие единственное значение переменной y.

y = f(x), x ∈ X

Ключевое слово в определении

«Единственное» — каждому x соответствует ровно одно y. Не может быть, чтобы одному x отвечало два разных значения y.

Функция это не только формула

Таблица: x → y по строкам
Формула: y = 3x − 1
Словесное правило: «округлить до целых»
График (визуально)

Функция или нет?

Правило	Функция?	Почему
y = x²	да	каждому x — одно y
x² + y² = 1	нет	при x=0: y=±1 (два значения)
y = \|x\|	да	каждому x — одно \|x\|
«день → температура»	да	в данный момент — одна t°
«рост → имя»	нет	одному росту — несколько имён

Область определения

Область определения D(f)

Определение

Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция определена.

D(f) — область определения

Когда функция не определена?

Деление на ноль: y = 1x при x = 0
Корень из отрицательного — изучим позже

Если область не указана

По умолчанию область определения — все допустимые значения x, при которых формула имеет смысл (ОДЗ).

Примеры нахождения области определения

Функция	Ограничение	D(f)
y = 2x + 1	нет	все числа
y = x²	нет	все числа
y = 1x	x ≠ 0	все числа, кроме 0
y = 1x − 3	x ≠ 3	все числа, кроме 3

Найдите область определения: 5 x + 4

Знаменатель x + 4 ≠ 0, значит x ≠ −4.
D(f) — все числа, кроме −4.

Способы задания

Три способа задать функцию

ƒ(x)

Формулой

Функция задаётся аналитическим выражением. Самый компактный и распространённый способ.

y = 3x − 5
y = x² + 2x
y = 1/x

Достоинства

Компактно записывается
Можно вычислить y при любом x
Легко строить график

x | y

Таблицей

Перечислены пары (x; y). Наглядно, но функция задана только для указанных значений x.

x	−2	−1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Применение

Экспериментальные данные
Расписания, прайс-листы

💬

Словесно

Правило соответствия описывается словами. Часто используется в задачах из жизни.

«Каждому натуральному числу n ставится в соответствие количество его делителей»

Примеры

Стоимость = цена × количество
Округлить x до целых

Важно

Все три способа задают одну и ту же функцию. Таблица в слайде задаёт y = x² для пяти точек — это частный случай формулы y = x².

Вычисление значений

Как вычислить f(a)

Правило

Чтобы найти f(a), нужно в формуле функции подставить x = a и вычислить результат.

Пример 1: f(x) = 3x − 1

f(2) = 3·2 − 1 = 6 − 1 = 5

f(−3) = 3·(−3) − 1 = −9 − 1 = −10

f(0) = 3·0 − 1 = −1

Пример 2: g(x) = x² − 2x + 1

g(3) = 9 − 6 + 1 = 4

g(−1) = 1 + 2 + 1 = 4

g(0) = 0 − 0 + 1 = 1

g(3) = g(−1) = 4 — разным x может отвечать одно y.

Составление таблицы значений

Для f(x) = 2x + 3 заполним таблицу:

x	−2	−1	0	1	2
y	−1	1	3	5	7

f(−2) = 2·(−2)+3 = −1

f(2) = 2·2+3 = 7

f(x) = x² + x − 2. Найдите f(3).

f(3) = 9 + 3 − 2 = 10

h(x) = 4 − 3x. При каком x выполнено h(x) = −2?

4 − 3x = −2 → 3x = 6 → x = 2

Дано: f(x) = 5x + 1. Верно ли, что f(a + 1) = f(a) + 5?

f(a+1) = 5(a+1)+1 = 5a+5+1 = 5a+6.
f(a)+5 = (5a+1)+5 = 5a+6. Да, верно!

§4 · п.12 · Тренажёр