§1. Рациональные дроби

Алгебра 8 · Глава I

§1. Рациональные дроби
и их свойства

Рациональные выражения, основное свойство дроби, сокращение. Обзор темы главы I.

      8 класс·
      Макарычев и др.·
      §1, стр. 5–18
    

Разминка · Слайд 2

Проверь себя

Что такое многочлен? Приведите пример.

Сумма одночленов. Например: 3x² − 5x + 2.

Разложите на множители: x² − 9

(x − 3)(x + 3) — разность квадратов.

При каком x выражение 5x − 3 не имеет смысла?

При x = 3 — знаменатель обращается в нуль.

Является ли выражение x + 1x² + 1 дробным при всех x?

Нет! Знаменатель x² + 1 > 0 при всех x — выражение всегда имеет смысл, но оно дробное по виду.

Теория · Слайд 3

Рациональные выражения

Целые выражения

Многочлены и выражения, составленные из многочленов с помощью сложения, вычитания и умножения.

Дробные выражения

Выражения, содержащие деление на переменную. Например:

x + 32x − 6 · 5a(a − 9)

Рациональная дробь

Дробь вида P(x)Q(x), где P и Q — многочлены, Q ≠ 0.

Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Примеры рациональных дробей

3x , x² − 1x + 2 , a + ba² − b²

Теория · Слайд 4

Допустимые значения переменных

Определение

Допустимые значения переменных — значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю и выражение имеет смысл.

Пример 1

Дробь 5a(a − 9)

Знаменатель = 0 при a = 0 или a = 9.

Допустимые значения: a ≠ 0 и a ≠ 9

Пример 2

Функция y = x + 3x − 7

Знаменатель = 0 при x = 7.

Область определения: x ≠ 7

Когда дробь = 0?

P(x)Q(x) = 0, если числитель = 0, а знаменатель ≠ 0.

Пример: (x−2)²−25x²+2x+6 = 0 при x = 7 или x = −3

Пример · Слайд 5

Нахождение допустимых значений

Найдём допустимые значения для дроби x² − 1x² + x − 6

Шаг 1

Приравняем знаменатель к нулю

x² + x − 6 = 0

Шаг 2

Разложим на множители

(x + 3)(x − 2) = 0

Шаг 3

Найдём корни

x = −3 или x = 2

Ответ

Допустимые значения: x ≠ −3 и x ≠ 2

Пример · Слайд 6

Сокращение рациональной дроби

Сократим дробь a² − 9ab + 3b

Шаг 1

Разложим числитель

a² − 9 = (a+3)(a−3)

Шаг 2

Разложим знаменатель

ab + 3b = b(a+3)

Шаг 3

Сократим на (a+3)

(a+3)(a−3)b(a+3) = a−3b

Ответ

При a ≠ −3, b ≠ 0:

a−3b

Теория · Слайд 7

Основное свойство дроби

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, получится равная ей дробь:

ab = a · cb · c при b ≠ 0, c ≠ 0

Приведение к знаменателю

Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель.

2x7y = 10xy²35y³ (·5y²)

Сокращение дроби

Делим числитель и знаменатель на общий множитель.

6xy9y² = 2x3y (:3y)

Теория · Слайд 8

Тождество. Знак дроби

Тождество

Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

x + 2x − 3 ≡ x² − 4(x−3)(x+2)

Запомни

После сокращения ОДЗ не меняется
Сокращение — тождественное преобразование

Знак перед дробью

Если изменить знак числителя и знак перед дробью — получим тождественно равное выражение:

52y − x = −5x − 2y

Частный случай (вынос «минус»)

x − 11 − x = −(1 − x)1 − x = −1

Пример · Слайд 9

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Числители складываем/вычитаем, знаменатель остаётся тем же:

ac ± bc = a ± bc

Пример 1 — сложение

3a − 7b15ab + 2a + 2b15ab = 5a − 5b15ab = a − b3ab

Пример 2 — вычитание

a² + 95a − 15 − 6a5a − 15 = a² − 6a + 95(a − 3) = a − 35

Теория + Пример · Слайд 10

Сложение с разными знаменателями

Алгоритм

Разложить знаменатели на множители
Найти НОД знаменателей
Найти дополнительные множители
Привести к общему знаменателю
Сложить числители, сократить

Пример

Сложим 3a(a+b) + bb(a+b)

НОД = ab(a+b). Доп. множители: b и a.

= 3b + abab(a+b) = b(3+a)ab(a+b) = 3+aa(a+b)

Ловушка: противоположные знаменатели

3x − 2 + 62 − x = 3x − 2 − 6x − 2 = −3x − 2

Теория · Слайд 11

Умножение и деление дробей

Умножение

ab · cd = a · cb · d

Перед умножением — разложить на множители и сократить!

Деление

ab : cd = ab · dc = a · db · c

Делим = умножаем на обратную дробь.

Пример — умножение с сокращением

x² − 4x + 3 · x² − 9x + 2 = (x−2)(x+2)(x+3) · (x−3)(x+3)(x+2) = (x−2)(x−3)

Применение · Слайд 12

Функция y = k : x и её график

Обратная пропорциональность

Функция y = kx, где k ≠ 0 — константа.

Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 0
График — гипербола
k > 0 → ветви в I и III четвертях
k < 0 → ветви в II и IV четвертях

«Выколотая» точка

График функции y = x² − 162x − 8 — это прямая y = x + 42, но с выколотой точкой (4; 4).

График гиперболы (k = 6)

Разбор ★ · Слайд 13

Сложная задача ★

Сократите дробь: x³ − 8x² − 4

Шаг 1

Числитель — разность кубов

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)

Шаг 2

Знаменатель — разность квадратов

x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

Шаг 3

Сократим на (x − 2)

= x² + 2x + 4x + 2

Ответ

При x ≠ ±2:

x² + 2x + 4x + 2

Типичная ошибка

Нельзя сокращать слагаемые! x³ − 8 ≠ x³ − 8 «сами по себе» — нужно разложить на множители.

Итоги · Урок 1

Итоги урока

Ключевые понятия

Рациональное выражение (целое / дробное)
Рациональная дробь P(x) : Q(x)
Допустимые значения переменных (ОДЗ)
Основное свойство дроби: a/b = ac/bc
Тождество — равенство при всех допустимых значениях
Сокращение дроби (разложить → сократить)
Знак перед дробью: −a/b = a/(−b)
Функция y = k/x — обратная пропорциональность

Домашнее задание

Задание	Номера
ОДЗ и смысл дроби	1, 5, 9
Сокращение дробей	26, 31, 32
Знак перед дробью	39, 40
★ Повышенный уровень	47, 48

Следующий урок

§2. Сумма и разность дробей — сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми и разными знаменателями, приведение к общему знаменателю.

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Тренажёр · Слайд 15