§2. Сумма и разность дробей

Алгебра 8 · Глава I

§2. Сумма и разность
дробей

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми и разными знаменателями, приведение к НОЗ.

      8 класс·
      Макарычев и др.·
      §2, стр. 19–30
    

Разминка · Слайд 2

Проверь себя

Что такое основное свойство дроби?

Числитель и знаменатель дроби можно умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое выражение — дробь не изменится.

Сократите дробь: 6ab9b²

2a3b — делим числитель и знаменатель на 3b.

Разложите на множители: x² − 2x − 8

(x − 4)(x + 2) — ищем два числа с суммой −2 и произведением −8.

Что значит привести дроби к общему знаменателю?

Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель так, чтобы все знаменатели стали одинаковыми (равными НОЗ).

Теория · Слайд 3

Одинаковые знаменатели

Правило сложения/вычитания с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить или вычесть их числители и записать результат над общим знаменателем:

ac ± bc = a ± bc

Пример 1 — сложение

3xx − y + 3yx − y = 3x + 3yx − y = 3(x + y)x − y

Пример 2 — вычитание с сокращением

5aa − 3 − 15a − 3 = 5a − 15a − 3 = 5(a − 3)a − 3 = 5

⚠ После сложения/вычитания всегда проверяй, можно ли сократить результат!

Теория · Слайд 4

Противоположные знаменатели

Приём: знак дроби

Если знаменатели различаются знаком (один — противоположный другому), используют свойство знака дроби: минус выносят из знаменателя в числитель или перед дробью.

a−b = −ab = −ab

Пример: a − b и b − a

Знаменатели противоположны: b − a = −(a − b)

3a − b + 5b − a = 3a − b − 5a − b = −2a − b

Алгоритм

Заметить, что b − a = −(a − b)
Перенести минус в числитель одной дроби
Знаменатели стали одинаковыми — складываем
Сократить результат, если возможно

Пример · Слайд 5

Вычитание с разложением на множители

Выполним действие: a²a − b − b²a − b

Шаг 1

Знаменатели одинаковы

a − b

Шаг 2

Вычитаем числители

a² − b²a − b

Шаг 3

Разложим числитель

a² − b² = (a−b)(a+b)

Ответ

Сократим на (a − b):

a + b

ОДЗ

a ≠ b (при a = b знаменатель обращается в 0)

Теория · Слайд 6

Разные знаменатели. НОЗ

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их приводят к НОЗ — наименьшему общему знаменателю.

НОЗ для одночленов

Коэффициент НОЗ = НОК коэффициентов. Каждая переменная берётся с наибольшим показателем из всех знаменателей.

4a³b и 6ab⁴
НОЗ = 12a³b⁴
НОК(4,6)=12; a → a³; b → b⁴

НОЗ для многочленов

Разложить каждый знаменатель на множители. НОЗ = произведение всех различных множителей (каждый в наибольшей степени).

a(a+b) и b(a+b)
НОЗ = ab(a+b)

Дополнительный множитель

Для каждой дроби: НОЗ ÷ знаменатель этой дроби. На него умножаем числитель и знаменатель.

Теория · Слайд 7

Алгоритм сложения/вычитания дробей

Шаг 1 · ОДЗ

Найти значения переменных, при которых все знаменатели ≠ 0

Шаг 2 · Разложение

Разложить каждый знаменатель на множители

Шаг 3 · НОЗ

Найти наименьший общий знаменатель — произведение всех различных множителей

Шаг 4 · Доп. множители

Для каждой дроби найти дополнительный множитель = НОЗ : знаменатель

Шаг 5 · Привести

Умножить числители на соответствующие дополнительные множители

Шаг 6 · Действие + сокращение

Сложить/вычесть числители (знаменатель — НОЗ), разложить числитель и сократить

✓ При одинаковых знаменателях шаги 2–5 пропускаются — сразу к шагу 6

Пример · Слайд 8

Разные знаменатели: одночлены

Сложим: x4a³b + 56ab⁴

НОЗ

12a³b⁴

НОК(4,6) = 12

Доп. к 1-й

12a³b⁴ ÷ 4a³b

= 3b³

Доп. к 2-й

12a³b⁴ ÷ 6ab⁴

= 2a²

Результат

3xb³ + 10a²12a³b⁴

x · 3b³12a³b⁴ + 5 · 2a²12a³b⁴ = 3xb³ + 10a²12a³b⁴

ОДЗ: a ≠ 0, b ≠ 0

Пример · Слайд 9

Разные знаменатели: многочлены

Преобразуем: a + 3a² + ab − b + 3ab + b²

Разложение знаменателей

a² + ab = a(a + b)
ab + b² = b(a + b)
НОЗ = ab(a + b)

Дополнительные множители

Для 1-й: ab(a+b) ÷ a(a+b) = b
Для 2-й: ab(a+b) ÷ b(a+b) = a

Вычисление

= (a+3)·b − (b+3)·aab(a+b)
= ab+3b − ab−3aab(a+b)
= 3(b−a)ab(a+b)

ОДЗ

a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ −b

Особые случаи · Слайд 10

Целое выражение и дробь

Приём

Целое выражение записывают в виде дроби со знаменателем 1, затем выполняют сложение/вычитание как обычно.

Пример: целое − дробь

a − 1 − a²+2a+3a+1
= (a−1)(a+1) − (a²+2a+3)a+1
= a²−1 − a²−2a−3a+1
= −2(a+2)a+1

Приём: противоположные знаменатели

xx−1 + 21−x

1−x = −(x−1), поэтому:

= xx−1 − 2x−1 = x−2x−1

ОДЗ: x ≠ 1

⚠ При вычитании дроби раскрывай скобки осторожно: знак меняется у всех слагаемых числителя!

Разбор ★ · Слайд 11

Сложная задача ★

Докажите, что выражение тождественно равно 2x−1:

x+1x²−1 + xx²+x

Разложение знаменателей и НОЗ

x²−1 = (x+1)(x−1)
x²+x = x(x+1)
НОЗ = x(x+1)(x−1)

Дополнительные множители

Для 1-й: ÷ (x+1)(x−1) → x
Для 2-й: ÷ x(x+1) → (x−1)

Вычисление

= (x+1)·x + x·(x−1)x(x+1)(x−1)
= x²+x + x²−xx(x+1)(x−1)
= 2x²x(x+1)(x−1) = 2x(x+1)(x−1) = 2xx²−1

Вывод

Результат 2xx²−1 ≠ 2x−1 — тождество не верно. Это типичная задача на проверку. ОДЗ: x ≠ 0, ±1.

Итоги · Урок 2

Итоги урока

Ключевые понятия и приёмы

Одинаковые знаменатели: складываем/вычитаем числители
Противоположные знаменатели: a−b = −(b−a) → выносим минус
НОЗ — наименьший общий знаменатель
Дополнительный множитель = НОЗ ÷ знаменатель дроби
Целое выражение → дробь со знаменателем 1
После действия всегда сократить результат!

Домашнее задание

Задание	Номера
Одинаковые знаменатели	76а,в; 78а,б
Разные знаменатели	82а,б; 84а,в
Дополнительно	80а; 81а
★ Повышенный уровень	83

Следующий урок

§3. Произведение и частное дробей — умножение, деление и возведение рациональных дробей в степень.

Гордеев С.В. · gordeev-math.ru

Тренажёр · Слайд 13