Дробь ba — числитель и знаменатель меняются местами. Произведение дроби на обратную равно 1.
Как разложить a² − 6a + 9 на множители?
(a − 3)² — полный квадрат разности. Формула: a² − 2ab + b² = (a−b)².
Теория · Слайд 3
Умножение дробей
Правило умножения дробей
Чтобы перемножить дроби, надо перемножить числители и перемножить знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе.
ab
· cd
= a · cb · d
= acbd
Три и более дробей
ab·cd·mn
= acmbdn
Правило распространяется на любое количество дробей
Дробь · многочлен
ab · P
= ab·P1
= aPb
Многочлен записывают как дробь со знаменателем 1
⚠ После умножения разложи числитель и знаменатель на множители и сократи результат!
Теория · Слайд 4
Возведение дроби в степень
Правило возведения дроби в степень
Чтобы возвести дробь в натуральную степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе.
abn
=
aⁿbⁿ
Примеры
x2y3 = x³8y³
3a²b³4 = 81a⁸b¹²
Знак при нечётной/чётной степени
Нечётная степень сохраняет знак:
−2a3b3 = −8a³27b³
Чётная степень — знак пропадает:
−ab4 = a⁴b⁴
Пример · Слайд 5
Умножение: разложить, потом сократить
Ключевой приём §3: сначала разложить числители и знаменатели на множители, затем умножить и сократить.
Задание: упростить
x²−y²3x
· 6x²x+y
Шаг 1 · Разложить
x²−y² = (x+y)(x−y) 6x² = 2·3·x·x
Шаг 2 · Записать одной дробью
(x+y)(x−y)·6x²3x·(x+y)
Шаг 3 · Сократить
(x+y), 3, x — общие
Результат
2x(x−y)
x²−y²3x·6x²x+y
= (x+y)(x−y)·6x²3x·(x+y)
= 2x(x−y)
Пример · Слайд 6
Произведение трёх дробей
Задание: представить в виде дроби
x−1x+2
· x+2x+1
· x²−1x−1
Разложение и сокращение
x²−1 = (x−1)(x+1)
= (x−1)·(x+2)·(x−1)(x+1)(x+2)·(x+1)·(x−1)
Сокращаем: (x+2), (x+1), (x−1)
= x − 1
Стратегия
Разложить всё, что разложимо, на множители
Записать одну большую дробь
Сокращать попарно сверху и снизу
Записать результат в упрощённом виде
💡 Удобнее сократить до умножения — вычисления проще и меньше ошибок
Теория · Слайд 7
Деление дробей
Правило деления дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
ab
: cd
= ab
· dc
= adbc
Обратная дробь
Обратная к cd — это dc
Числитель и знаменатель меняются местами
Дробь : многочлен
ab : P
= ab·1P
= abP
⚠ Деление не переставляется местами: сначала перевернуть вторую дробь, затем умножать!
Пример · Слайд 8
Деление: простой случай
Задание
7a²b³
: 14ab
Перевернуть 2-ю
14ab → b14a
Умножить
7a²·bb³·14a
Сократить
7, a, b — общие
Результат
a2b²
7a²b³ : 14ab
= 7a²·bb³·14a
= a2b²
ОДЗ: a ≠ 0, b ≠ 0
Пример · Слайд 9
Деление с разложением на множители
Задание
xx−2
: x+1x²−4
Решение
= xx−2
· x²−4x+1
x²−4 = (x−2)(x+2)
= x·(x−2)(x+2)(x−2)·(x+1)
= x(x+2)x+1
Деление на многочлен
a²−9y³ : (a+3)
= a²−9y³·1a+3
= (a−3)(a+3)y³·(a+3)
= a−3y³
Пример · Слайд 10
Умножение и деление вместе
Выполняем слева направо. Деление заменяем умножением на обратную дробь.
Задание: упростить
a²−b²a+b
· aa−b
: a²a²−2ab+b²
Разложить
a²−b² = (a+b)(a−b)
a²−2ab+b² = (a−b)²
: → ·
·(a−b)²a²
Одна дробь
(a+b)(a−b)·a·(a−b)²(a+b)·(a−b)·a²
Сократить → ответ
a−ba
Алгоритм · Слайд 11
Алгоритм умножения и деления дробей
Шаг 1 · ОДЗ
Запретить значения, при которых любой знаменатель равен нулю
Шаг 2 · Деление → умножение
Заменить a:b на a · (1/b) — перевернуть вторую дробь
Шаг 3 · Разложить
Каждый числитель и знаменатель разложить на множители
Шаг 4 · Одна дробь
Записать всё как одну дробь: произведение числителей / произведение знаменателей
Шаг 5 · Сократить
Найти и сократить общие множители числителя и знаменателя
Шаг 6 · Результат
Записать ответ в упрощённом виде, указать ОДЗ
✓ Сокращать до умножения — вычисления проще и меньше ошибок