Повторение · Урок 5

Уравнения

Линейные уравнения · Задачи с помощью уравнений

Алгебра · 7 класс · Гордеев С.В.

Основные понятия

Что такое уравнение

Уравнение

Равенство, содержащее переменную (неизвестное). Вид: левая часть = правая часть.

2x − 1 = 5

Корень уравнения

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение

Найти все корни или доказать, что корней нет. Уравнение может иметь один, несколько корней или не иметь ни одного.

Проверка корня: 2x − 1 = 5

x = 3:
2 · 3 − 1 = 6 − 1 = 5 ✓
x = 3 — корень

x = 1:
2 · 1 − 1 = 1 ≠ 5 ✗
x = 1 — не корень

Запись решения

Ответ пишем: «Корень уравнения x = …» или кратко «x = …». Если корней нет: «Корней нет».

Правила преобразования

Как решают уравнения

Правило 1 — перенос слагаемого

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

x + 9 = 16
x = 16 − 9 = 7

Правило 2 — умножение и деление

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.

−3x = 21
x = 21 ÷ (−3) = −7

Пример: 4x + 5 = 2x − 7

переносим:
4x − 2x = −7 − 5

приводим подобные:
2x = −12

делим обе части на 2:
x = −6

проверка:
4·(−6)+5 = −19
2·(−6)−7 = −19 ✓

Уравнения со скобками

Раскрытие скобок

Пример 1: 2(3x − 4) = 5x + 6

раскрываем скобки:
6x − 8 = 5x + 6

переносим слагаемые:
6x − 5x = 6 + 8

x = 14

проверка: L = 2(42−4)=76; R = 70+6=76 ✓

Пример 2: 3(x + 2) − 2(x − 1) = 13

раскрываем обе скобки:
3x + 6 − 2x + 2 = 13

приводим подобные:
x + 8 = 13

переносим:
x = 13 − 8

x = 5

Запомни

При раскрытии скобок со знаком «−» знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: −(x − 1) = −x + 1.

Задачи с помощью уравнений

Как составить уравнение по задаче

1Прочитать задачу, выделить что известно и что найти.

2Обозначить неизвестное: пусть x = …

3Записать уравнение, опираясь на условие задачи.

4Решить уравнение.

5Проверить: соответствует ли ответ условию. Записать ответ.

Задача

Задумали число, умножили на 3 и вычли 7. Получили 14. Найдите число.

пусть x — задуманное число
3x − 7 = 14

переносим −7:
3x = 14 + 7 = 21

делим на 3:
x = 7

проверка: 3·7 − 7 = 14 ✓
ответ: задуманное число — 7.

Разбор задачи

Задача на возраст

Условие

Отцу 37 лет, сыну 7 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

пусть x — искомое число лет

Через x лет:
· возраст отца: 37 + x
· возраст сына: 7 + x

условие: отец втрое старше
37 + x = 3 · (7 + x)

Решение

37 + x = 3(7 + x)

раскрываем скобки:
37 + x = 21 + 3x

переносим:
37 − 21 = 3x − x
16 = 2x
x = 8

Проверка

Через 8 лет: отцу 37 + 8 = 45 лет, сыну 7 + 8 = 15 лет.
45 = 3 · 15 ✓

Ответ: через 8 лет.

Итоги урока

Что повторили

Уравнение — равенство с переменной. Корень — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.
Преобразования: перенос слагаемого (меняем знак) и умножение/деление обеих частей на одно и то же число ≠ 0.
Уравнения со скобками: раскрыть скобки → привести подобные → перенести → решить.
Задачи с уравнением: пусть x = неизвестное → составить уравнение по условию → решить → проверить → ответ.

Домашнее задание

Уровень 1: решить уравнения (с переносом и со скобками). Уровень 2★: составить уравнение по задаче и решить его.

Тренажёр

Генератор задач · Уравнения

Линейные уравнения — 5 разных типов, автопроверка

Нажми «Новый вариант», чтобы получить 5 задач