П1
10–11 класс · Тригонометрия · Урок 1
Радианная
мера угла
Определение · Перевод единиц · Длина дуги · Единичная окружность
Понятие угла

Центральный угол и дуга

Центральный угол

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны — два радиуса, ограничивающие дугу.

  • Дуге соответствует один центральный угол
  • Полный оборот — угол 360° или 2π рад
  • Одна и та же фигура — разные единицы измерения
Зачем нужна радианная мера?
  • Формулы тригонометрии проще и красивее
  • Производные sin и cos — без лишних множителей
  • Длина дуги: l = r · α (без коэффициентов)
  • Стандарт в высшей математике и физике
α l r r O
Повторение

Градусная мера угла

Определение

Полный оборот делят на 360 равных частей. Каждая часть — один градус (1°).

Полный оборот = 360°
Прямой угол = 90°
Развёрнутый угол = 180°
Единицы меньше градуса

1° = 60 минут (60′)
1′ = 60 секунд (60″)
В тригонометрии удобнее десятичные доли градуса.

Особые углы (градусы)
0° · 30° · 45° · 60° · 90°
120° · 135° · 150° · 180°
270° · 360°

Эти значения нужно знать наизусть — в обеих единицах измерения.

Недостатки градусной меры
  • Число 360 — историческая условность
  • Формула длины дуги содержит π и 180
  • Производные тригонофункций — с коэффициентом
  • Неудобно в математическом анализе
Основное понятие

Радиан: определение

Определение радиана

1 радиан — центральный угол, которому соответствует дуга, длина которой равна радиусу окружности.

l = r  ⟹  α = 1 рад

Радиан — безразмерная величина: отношение длины дуги к радиусу.

Общее определение через дугу
α (рад) = lr

l — длина дуги, r — радиус окружности.

l = r 1 рад r r O

Дуга (зелёная) равна радиусу — это угол в 1 радиан

Перевод единиц

Связь градусов и радиан

Ключевое соотношение
180° = π рад

Длина полуокружности πr, центральный угол — π рад. При r = 1: дуга = π ≈ 3,14…

Приближённые значения
1 рад ≈ 57,3°
1° ≈ 0,01745 рад
Формулы перевода
Градусы → Радианы
α (рад) = α° · π180
Радианы → Градусы
α° = α (рад) · 180π
Алгоритм
° → рад
умножить на π180
рад → °
умножить на 180π
Опорная таблица

Важные углы: градусы и радианы

ГрадусыРадианыУгол
0°0нулевой
30°π6—
45°π4—
60°π3—
90°π2прямой
120°2π3—
135°3π4—
150°5π6—
180°πразвёрнутый
270°3π2—
360°2πполный
Как запомнить

Знаменатели — 6, 4, 3, 2 для 30°, 45°, 60°, 90°. Числитель всегда π (иногда с коэффициентом).

30° → π6  45° → π4
60° → π3  90° → π2
Симметрия углов по четвертям

II четверть: π − α  (150° = π − π6 = 5π6)
III четверть: π + α
IV четверть: 2π − α

Приложение

Длина дуги и площадь сектора

Длина дуги через радианы
l = r · α

α — угол в радианах, r — радиус. Формула предельно простая — именно поэтому радианы удобны.

Длина дуги через градусы
l = π · r · α°180

Та же формула: α° · π180 — перевод в радианы.

Примеры
r = 5, α = π3:
l = 5 · π3 = 5π3

r = 3, α = 60°:
l = π · 3 · 60180 = π
Площадь сектора
S = r² · α2

α — в радианах. Проверка: S = r² · 2π2 = πr² (полный круг)

Единичная окружность

Числовая окружность

Определение

Числовая окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом r = 1.

  • Длина окружности = 2π · 1 = 2π
  • Длина дуги l = 1 · α = α (числово равна углу)
  • Угол и длина дуги совпадают числово
  • Координаты точки: (cos α, sin α)
Основные точки
A(1; 0) — угол 0
B(0; 1) — угол π2 (90°)
C(−1; 0) — угол π (180°)
D(0; −1) — угол 3π2 (270°)
A(1, 0) B(0, 1) C(−1, 0) D(0,−1) π/6 π/4 π/3 O
Самопроверка

Проверь себя

Нажми на карточку, чтобы увидеть ответ
01 Перевести в радианы: 120°
120 · π180 = 2π3
02 Перевести в градусы: 5π6
5π6 · 180π = 150°
03 Чему равен 1 рад в градусах?
1 · 180π ≈ 57,3°
04 Длина дуги: r = 6, α = π4
l = 6 · π4 = 3π2
05 Перевести в радианы: 270°
270 · π180 = 3π2
06 Длина дуги: r = 4, α = 90°
α = π2;  l = 4 · π2 = 2π
Гордеев С.В. · gordeev-math.ru
⌂ На главную 1 / 9