П2
10–11 класс · Тригонометрия · Урок 2
Тригонометрические
функции
sin и cos · tg и ctg · Таблица значений · Знаки · Свойства чётности
Определения

Синус и косинус

Определение через числовую окружность

Пусть точка P лежит на единичной окружности и соответствует углу α. Тогда координаты P:

P = (cos α; sin α)
  • cos α — абсцисса (x-координата) точки P
  • sin α — ордината (y-координата) точки P
  • Область значений обоих: [−1; 1]
Область допустимых значений
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1
α ∈ ℝ (любое вещественное число)
P α cos α sin α O 1
Определения

Тангенс и котангенс

Тангенс
tg α = sin αcos α , cos α ≠ 0

Область допустимых значений: α ≠ π2 + πn, n ∈ ℤ
Область значений: tg α ∈ ℝ

Котангенс
ctg α = cos αsin α , sin α ≠ 0

Область допустимых значений: α ≠ πn, n ∈ ℤ
Область значений: ctg α ∈ ℝ

Геометрический смысл tg

Тангенс — отрезок на касательной к окружности в точке (1, 0), отсекаемый лучом из центра.

tg 0° = 0
tg 45° = tg π4 = 1
tg 90° = tg π2 = не определён
Связь tg и ctg
tg α · ctg α = 1

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции.

Основное тождество

sin²α + cos²α = 1

Основное тригонометрическое тождество
sin²α + cos²α = 1

Следует из теоремы Пифагора: точка P(cos α, sin α) лежит на единичной окружности, т.е. cos²α + sin²α = 1² = 1.

Следствия
1 + tg²α = 1cos²α  (cos α ≠ 0)
1 + ctg²α = 1sin²α  (sin α ≠ 0)
Применение: найти одну функцию из другой

Дано: sin α = 35, α ∈ I четверть. Найти cos α.

cos²α = 1 − sin²α
cos²α = 1 − 925 = 1625
cos α = 45  (I четв. → cos > 0)
Алгоритм
01
Записать тождество
02
Подставить известное
03
Определить знак по четверти
Знаки функций

Знаки функций по четвертям

II четверть
sin +
cos −
tg −
I четверть
sin +
cos +
tg +
III четверть
sin −
cos −
tg +
IV четверть
sin −
cos +
tg −
Мнемоника

«Все Студенты Тупо Считают»
I — Все, II — Sin, III — Tg, IV — Cos
(в каждой четверти положительна указанная функция)

Как определить четверть
I: 0 < α < π2
II:  π2 < α < π
III: π < α < 3π2
IV:  3π2 < α < 2π
Пример

α = 5π4: π < 5π4 < 3π2 → III четверть
∴ sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0

Опорная таблица

Значения функций в особых точках

Функция 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
sin α 0 12 √22 √32 1 0 −1 0
cos α 1 √32 √22 12 0 −1 0 1
tg α 0 √33 1 √3 н/о 0 н/о 0
ctg α н/о √3 1 √33 0 н/о 0 н/о
√2/2 ≈ 0,707

Значения sin и cos при 45°. √22 = ≈ 0,71

√3/2 ≈ 0,866

Значения при 60°. √32 = ≈ 0,87

н/о — не определено

tg не определён при cos = 0,
ctg — при sin = 0.

Свойства функций

Чётность и нечётность

Чётная функция: косинус
cos(−α) = cos α

График симметричен относительно оси Oy. Значение не меняется при замене α на −α.

cos(−60°) = cos 60° = 12
Нечётные функции: sin, tg, ctg
sin(−α) = −sin α
tg(−α) = −tg α
ctg(−α) = −ctg α

График симметричен относительно начала координат.

Геометрический смысл

Угол −α — отражение угла α относительно горизонтальной оси. Точка P′ = (cos α, −sin α).

P(cos α, sin α) P′(cos α, −sin α) x y O
Формулы

Ключевые формулы связи

Основные тождества
sin²α + cos²α = 1
tg α · ctg α = 1
tg α = sin αcos α
ctg α = cos αsin α
Через тангенс
1 + tg²α = 1cos²α
1 + ctg²α = 1sin²α
Чётность / нечётность
sin(−α) = −sin α
cos(−α) = cos α
tg(−α) = −tg α
ctg(−α) = −ctg α
Сдвиг на π и 2π
sin(α + 2π) = sin α
cos(α + 2π) = cos α
sin(α + π) = −sin α
cos(α + π) = −cos α
Самопроверка

Проверь себя

Нажми на карточку, чтобы увидеть ответ
01 sin²α = 925, IV четв. Найти cos α.
cos²α = 1 − 925 = 1625 ; IV → cos > 0: 45
02 Знак sin 7π6?
7π6 = π + π6 → III четв. → sin < 0
03 cos(−α) = cos α — правда?
Да. Косинус — чётная функция: cos(−α) = cos α
04 Вычислить sin π6 · cos π3
12 · 12 = 14
05 tg α = sin αcos α при cos α ≠ 0 — верно?
Да. Это определение тангенса. ctg α = cos αsin α
06 Упростить: sin² π7 + cos² π7
Основное тождество: sin²α + cos²α = 1
Гордеев С.В. · gordeev-math.ru
⌂ На главную 1 / 9