Формулы приведения
Как вычислить синус 150°, если таблица заканчивается на 90°? Формулы приведения переводят любой угол в острый — и делают это по простому правилу.
Что такое формула приведения?
Формула приведения — это тождество, которое выражает тригонометрическую функцию от угла вида k·π2 ± α через функцию от острого угла α.
- Вычислять sin 120°, cos 210°, tg 300° без калькулятора
- Упрощать тригонометрические выражения
- Решать уравнения: привести всё к одной функции
k = 0, 1, 2, 3, 4 — целое. α — острый угол (или просто переменная). При разных k угол оказывается в разных четвертях.
cos 210° = cos(180°+30°) = −cos 30°
tg 300° = tg(360°−60°) = −tg 60°
В каждом случае осталась функция от острого угла — 60° или 30°. Это и есть приведение.
- Меняется ли функция (sin↔cos, tg↔ctg)?
- Какой знак поставить перед результатом?
На оба вопроса отвечает правило лошади.
Ключевые точки — на осях
Угол k·π2 ± α «опирается» на одну из четырёх полуосей единичной окружности. Сама полуось определяет, меняется ли функция.
Функция меняется
sin ↔ cos, tg ↔ ctg
Функция не меняется
sin остаётся sin, cos остаётся cos
После того как решили «меняется или нет», определяем знак: смотрим, в какой четверти оказывается угол k·π/2 ± α при α > 0 малом. Знак исходной функции в этой четверти — и есть знак результата.
Правило лошади
Смотрим, на какой оси стоит ключевая точка (π/2, π, 3π/2, 2π), и представляем лошадь, которая на неё смотрит:
Точка на вертикальной оси — π2 или 3π2. Лошадь кивает вверх-вниз: «Да, меняется!» Функция меняется: sin→cos, cos→sin, tg→ctg.
cos(3π2 − α) → −sin α
Точка на горизонтальной оси — 0, π или 2π. Лошадь мотает головой: «Нет, не меняется!» Функция остаётся: sin→sin, tg→tg.
cos(2π − α) → cos α
Знак определяем отдельно — по четверти, в которую попадает угол при малом α > 0.
Алгоритм: три шага
Определяем, на какой оси стоит k·π/2.
Вертикальная → функция меняется
Горизонтальная → не меняется
Берём исходную функцию.
Смотрим четверть, куда попадает угол при α > 0.
Знак функции в той четверти — наш знак.
«Знак» + «функция (новая или та же)» + «α»
- Шаг 1: π/2 — вертикальная ось → функция меняется, sin→cos
- Шаг 2: При α > 0 малом, π/2 + α попадает во II четверть. Синус во II четверти положительный.
- Шаг 3: Знак «+», функция cos → cos α
- Шаг 1: 3π/2 — вертикальная ось → функция меняется, cos→sin
- Шаг 2: При α > 0 малом, 3π/2 − α попадает в III четверть. Косинус в III четверти отрицательный.
- Шаг 3: Знак «−», функция sin → −sin α
Формулы: вертикальная ось (функция меняется)
Запомнить трудно — вывести легко. Применяй алгоритм, а не зубри таблицу.
| Угол | sin → | cos → | tg → | ctg → | Четверть (α > 0) |
|---|---|---|---|---|---|
| π2 − α | cos α | sin α | ctg α | tg α | I чет. (все +) |
| π2 + α | cos α | −sin α | −ctg α | −tg α | II чет. (sin+, cos−) |
| 3π2 − α | −cos α | −sin α | ctg α | tg α | III чет. (tg+, ctg+) |
| 3π2 + α | −cos α | sin α | −ctg α | −tg α | IV чет. (cos+) |
I — все положительны, II — только Sin, III — только Tg и ctg, IV — только Cos.
Формулы: горизонтальная ось (функция не меняется)
| Угол | sin → | cos → | tg → | ctg → | Четверть (α > 0) |
|---|---|---|---|---|---|
| π − α | sin α | −cos α | −tg α | −ctg α | II чет. (sin+, cos−) |
| π + α | −sin α | −cos α | tg α | ctg α | III чет. (tg+) |
| 2π − α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α | IV чет. (cos+) |
| 2π + α | sin α | cos α | tg α | ctg α | I чет. (все +) |
Полный оборот — угол попадает в ту же позицию. Функции совпадают с исходными: sin(2π + α) = sin α. Формулы приведения здесь — просто периодичность.
Те же формулы работают в градусах: π → 180°, π/2 → 90°, 3π/2 → 270°, 2π → 360°.
Примеры
↳ 90° — вертикаль, sin → cos; II четв. → знак «+»
= cos 30° = √32
↳ 3π/2 — вертикаль, cos → sin; III четв. → «−»
↳ π — горизонталь, tg → tg; III четв. → «+»
= (−sin α) · tg α = −sin α · tg α
↳ 180° — горизонталь, cos → cos; III четв. → «−»
= −cos 30° = −√32
↳ числитель: cos α · (−cos α) = −cos²α; знаменатель: −tg α
= −cos²α−tg α = cos²αtg α = cos²α · ctg α
Проверь себя
π/2 — вертикаль → меняется; I чет → +
π — горизонталь → не меняется; III чет → −
3π/2 — вертикаль → меняется; III чет → tg+, ctg+
2π — горизонталь → cos; IV чет → cos+