Синус, косинус, тангенс и котангенс — у каждого свой характер. Здесь мы читаем его по форме волны, а не по таблице.
График косинуса — это сдвиг синуса на π2 влево:
Поэтому форма волны одинакова — только начальная фаза разная.
При cos x = 0 функция не определена — отсюда асимптоты.
Котангенс убывает на каждом периоде (тангенс — возрастает). Асимптоты в нулях, а не в π2 + πn.
Каждый параметр отвечает за один вид преобразования графика. Распознать их — значит читать формулу как чертёж.
Полуразмах колебания. График растягивается по вертикали.
Число периодов на 2π. График сжимается по горизонтали.
Начальный сдвиг аргумента. График смещается по горизонтали.
Постоянная добавка. График смещается по вертикали.
Находим A → вычисляем T = 2πω → отмечаем начальную фазу −φω → сдвигаем на b.
Штриховые линии — y = sin x для сравнения. Сплошные — преобразованная функция.
| Свойство | sin x | cos x | tg x | ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Период T | 2π | 2π | π | π |
| Обл. определения | ℝ | ℝ | x ≠ π2+πn | x ≠ πn |
| Обл. значений | [−1, 1] | [−1, 1] | (−∞, +∞) | (−∞, +∞) |
| Нули | πn | π2+πn | πn | π2+πn |
| Чётность | нечётная | чётная | нечётная | нечётная |
| Монотонность | [−π2, π2] ↑ | [0, π] ↓ | (−π2, π2) ↑ | (0, π) ↓ |
| Асимптоты | — | — | x = π2+πn | x = πn |
Cos — единственная чётная из четырёх. Остальные нечётные. Графически: cos симметричен относительно оси y, остальные — относительно начала координат.
Тангенс и котангенс имеют вдвое меньший период. Смена знака происходит чаще: в каждой полуоси вместо каждой оси.
Найти период функции y = sin(3x).
Для функции вида y = A·sin(ωx) период равен:
Параметр ω показывает, сколько полных периодов умещается на отрезке [0, 2π].
Сравниваем с шаблоном:
Обычный sin x делает один полный оборот за 2π. При ω = 3 аргумент «бежит» в 3 раза быстрее — функция успевает сделать три полных периода там, где одна делала один.
Найти все нули y = cos x на отрезке [0, 2π].
cos x = 0 при
Это все точки, где косинус пересекает ось x.
На графике y = cos x видно: функция пересекает ось x ровно в двух точках отрезка [0, 2π] — при x = π2 и x = 3π2. Закрашенные точки — нули, пустые — значения ±1.
Найти амплитуду y = −4 sin(x2).
Приводим к форме y = A·sin(ωx):
Значит: A = −4, ω = 12
Амплитуда — это полуразмах, всегда ≥ 0:
Отрицательный A отражает график относительно оси x — максимумы становятся минимумами, и наоборот. Высота волны не меняется.
Раз ω = 12, то период вдвое больше обычного:
Найти область значений y = tg x.
Числитель ограничен: |sin x| ≤ 1. Знаменатель обращается в ноль — вот где скрыта неограниченность.
На каждом интервале (−π2 + πn, π2 + πn) функция непрерывна и монотонно возрастает от −∞ до +∞. По теореме о промежуточном значении принимает любое вещественное число.