Формулы сложения

Тригонометрия · П5

Как вычислить sin, cos и tg суммы и разности углов

10–11 класс Тригонометрия

sin(α+β)
cos(α−β)

Мотивация

Почему нельзя просто сложить?

✗ Распространённая ошибка

sin(30° + 45°) = sin 30° + sin 45° ?

= 12 + √22 ≈ 0.5 + 0.71 = 1.21

Но |sin x| ≤ 1 для любого x.
Получили значение больше 1 — противоречие!

✓ Правильный подход

Для тригонометрических функций суммы и разности углов существуют специальные формулы сложения.

Они не очевидны, но строго выводятся из геометрии единичной окружности.

Что даёт знание этих формул?

Вычислять точные значения sin 15°, cos 75°, tg 105° и подобных углов
Упрощать тригонометрические выражения и доказывать тождества
Выводить из них формулы двойного угла, формулы приведения и суммы

Основные формулы

Косинус суммы и разности

cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Правило знаков — знак меняется!

Аргумент — сумма → формула содержит минус
Аргумент — разность → формула содержит плюс

Знак «снаружи» и знак «внутри» противоположны — запомните это!

Проверка на известных углах

cos 90° = cos(45°+45°)
= cos²45° − sin²45°
= 12 − 12 = 0 ✓

cos 0° = cos(α−α)
= cos²α + sin²α = 1 ✓

Основные формулы

Синус суммы и разности

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β

Правило знаков — знак сохраняется!

Аргумент — сумма → формула содержит плюс
Аргумент — разность → формула содержит минус

В отличие от косинуса, у синуса знак не переворачивается.

Структура формулы

синус · косинус ± косинус · синус

Первый множитель: первый угол,
второй множитель: второй угол.
В первой паре — синус первого, в второй — косинус первого.

sin 90° = sin(45°+45°)
= sin45°·cos45° + cos45°·sin45°
= 12 + 12 = 1 ✓

Основные формулы

Тангенс суммы и разности

tg(α + β) = tg α + tg β1 − tg α · tg β

tg(α − β) = tg α − tg β1 + tg α · tg β

Область применения

tg α и tg β должны существовать
Знаменатель: 1 ∓ tg α · tg β ≠ 0
tg(α ± β) должен существовать

Вывод

Делим sin(α±β) на cos(α±β), затем числитель и знаменатель делим на cos α · cos β:

tg(α+β) = sin(α+β) / cos(α+β)
= (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ − sinα sinβ)
÷(cosα cosβ) → (tgα + tgβ) / (1 − tgα·tgβ)

Доказательство

Вывод формулы cos(α − β)

1

На единичной окружности возьмём точки
A(cos α, sin α) и B(cos β, sin β).

|OA| = |OB| = 1

2

Вычислим |AB|² по координатам:

|AB|² = (cosα−cosβ)² + (sinα−sinβ)²
= cos²α−2cosα cosβ+cos²β
+ sin²α−2sinα sinβ+sin²β
= 2 − 2(cosα cosβ + sinα sinβ)

3

По теореме косинусов в △OAB:

|AB|² = 1 + 1 − 2·cos(α−β) = 2 − 2cos(α−β)

4

Приравниваем результаты шагов 2 и 3:

cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ ✓

Остальные формулы

cos(α+β) получают заменой β → −β.
Формулы синуса — через cos(π/2−x) = sin x.

Применение

Вычисление точных значений

Угол	30°	45°	60°
sin	12	√22	√32
cos	√32	√22	12

Пример 1 — sin 75°

sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= √22·√32 + √22·12
= √64 + √24

sin 75° = √6 + √24 ≈ 0.966

Пример 2 — cos 105°

cos 105° = cos(60° + 45°)
= cos60°·cos45° − sin60°·sin45°
= 12·√22 − √32·√22
= √24 − √64

cos 105° = √2 − √64 ≈ −0.259

Применение

Формулы приведения как следствие

Все формулы приведения — это частные случаи формул сложения.

Пример: sin(π/2 + x)

sin(π2+x) = sinπ2·cosx + cosπ2·sinx
= 1·cos x + 0·sin x = cos x

Пример: cos(π − x)

cos(π − x) = cosπ·cosx + sinπ·sinx
= (−1)·cos x + 0·sin x = −cos x

Пример: sin(π + x)

sin(π + x) = sinπ·cosx + cosπ·sinx
= 0·cos x + (−1)·sin x = −sin x

Пример: cos(2π − x)

cos(2π − x) = cos2π·cosx + sin2π·sinx
= 1·cos x + 0·sin x = cos x

Ключевая идея

При подстановке «особых» углов (0, π2, π, 3π2, 2π) значения их синуса и косинуса равны 0 или ±1, и формула автоматически упрощается. Формулы приведения не нужно заучивать отдельно.

Тренажёр · П5