Сколько испытаний нужно, чтобы получить первый успех? Формула E = 1/p.
Мы повторяем независимые испытания с вероятностью успеха p до тех пор, пока не получим первый успех. Случайная величина X — номер испытания, на котором произошёл первый успех.
У Бернулли: n фиксировано, считаем число успехов.
Здесь: n случайное — останавливаемся при первом успехе.
Возможные исходы:
P(X = k) = (1 − p)^(k−1) · p = 0.6^(k−1) · 0.4
Если в каждом испытании успех наступает с вероятностью p, то «в среднем» приходится ждать 1/p испытаний до первого успеха.
Монета: половина попыток — орёл, значит в среднем 2 броска до первого орла. E = 1/0.5 = 2 ✓
Кубик (ждём «1»): 1 грань из 6, значит в среднем 6 бросков. E = 1/(1/6) = 6 ✓
Если дано E(X) = k, то
p = 1 / E(X) = 1/k
В среднем стрелку нужно 2.5 выстрела до первого попадания.
Три возможных варианта:
Вероятности убывают геометрически — отсюда название.
В среднем придётся купить 20 билетов до первого выигрыша.
«k выигрышных из N» → p = k/N
«каждый 8-й выигрышный» → p = 1/8
→ E = 8 билетов до выигрыша
«5% билетов выигрышные» → p = 0.05
→ E = 20 билетов
Таблица: E → p
| Параметр | Схема Бернулли | Геометрическое |
|---|---|---|
| Вопрос | Сколько успехов за n испытаний? | На каком испытании первый успех? |
| X — это | Число успехов | Номер первого успеха |
| n | Фиксированное | Случайное (до первого успеха) |
| Формула E | E = n · p | E = 1 / p |
| Ключевое слово | «за n испытаний», «из n попыток» | «до первого», «до первой удачи», «пока не» |
| Пример | Стрелок делает 10 выстрелов. E попаданий? | Стрелок стреляет до первого попадания. E выстрелов? |
✗ «Стреляет до первого попадания, p = 0.4»
E = n · p — но n неизвестно, это ловушка!
✓ «До первого» → геометрическое
E = 1 / 0.4 = 2.5
✗ «Делает 5 выстрелов до попадания»
Применить E = 1/p к задаче Бернулли
✓ «Делает 5 выстрелов» — n=5, Бернулли, E=np
«Стреляет до попадания» — геометрическое, E=1/p
✗ «Каждый 10-й выигрышный, покупает до выигрыша»
E = 1 / 10 = 0.1 — неверно!
✓ p = 1/10 = 0.1
E = 1 / p = 1 / 0.1 = 10
E(X) = 2.5 означает «в среднем 2.5 испытания» — это МО, не конкретный результат. Само X всегда целое (1, 2, 3, …), а вот его среднее — нет.
Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите математическое ожидание числа подбрасываний.
В лотерее каждый 8-й билет выигрышный. Участник покупает по одному билету до первого выигрыша. Найдите математическое ожидание числа купленных билетов.
Математическое ожидание числа испытаний до первого успеха равно 4. Найдите вероятность успеха в одном испытании.
В среднем 2 подбрасывания до первого орла.
В среднем нужно купить 8 билетов.
Вероятность успеха равна 0.25.