Формула E = np. Классические задачи: испытания, лотереи, производство, эксперименты.
X = число успехов за n испытаний.
Мы хотим знать: сколько успехов в среднем?
В этом конкретном опыте: 7 попаданий из 10.
Но в среднем за много серий — E(X) = 10 · 0.6 = 6.
Параметры:
n — число испытаний
p — вероятность успеха в одном испытании
q = 1 − p — вероятность неудачи
Каждое испытание «приносит» в среднем p успехов.
За n независимых испытаний успехи складываются:
E = p + p + … + p = n · p
Формула работает, когда испытания независимы и вероятность успеха одинакова в каждом. Если условие меняется — это уже не схема Бернулли.
Если составить полную таблицу распределения и посчитать E = Σxᵢpᵢ — результат совпадёт с np. Формула np — это быстрый путь, не нужна вся таблица.
Интерпретация: в среднем за серию из 8 выстрелов стрелок попадает 6 раз.
Типичная серия:
Здесь 6 попаданий — ровно E(X)
Альтернативные формулировки задачи:
«число попаданий» → X = попадание
«число промахов» → E = n·(1−p) = 8·0.25 = 2
«число шестёрок при n бросках» → p = 1/6
«выигрышных k из N» → p = k/N
«вероятность выигрыша 0.05» → p = 0.05
«10% билетов выигрышные» → p = 0.10
«каждый пятый билет выигрышный» → p = 1/5 = 0.2
Алгоритм обратной задачи:
Запишите формулу E = n · p → подставьте известные → выразите неизвестное. Проверьте: если это p, то должно быть 0 < p ≤ 1.
| Опыт | Событие | p |
|---|---|---|
| Монета | орёл (или решка) | 1/2 |
| Кубик | фиксированная грань | 1/6 |
| Кубик | чётное число | 1/2 |
| Кубик | число > 4 | 1/3 |
| Колода 36 карт | туз | 1/9 |
✗ Неверно: стрелок попадает с p = 0.3, сделал 10 выстрелов.
«E = 10 · 0.3 = 3 промаха»
✓ Верно: E(попаданий) = 10 · 0.3 = 3
E(промахов) = 10 · 0.7 = 7
Всегда уточняем: X — это что именно?
✗ «5% выигрышных, 40 билетов»
E = 40 · 5 = 200 — абсурд!
✓ p = 5% = 0.05
E = 40 · 0.05 = 2
Если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию — формула E = np неприменима. Нужно считать через E = Σxᵢpᵢ по таблице распределения.
N = всего билетов в лотерее (знаменатель для p)
n = сколько билетов купил участник (множитель в E = np)
Баскетболист забрасывает мяч с вероятностью 0.65. Он делает 20 бросков. Найдите математическое ожидание числа попаданий.
В лотерее 500 билетов, из них 40 выигрышных. Маша купила 15 билетов. Найдите математическое ожидание числа её выигрышных билетов.
Вероятность того, что изделие окажется нестандартным, равна 0.05. Сколько изделий нужно проверить, чтобы математическое ожидание числа нестандартных было равно 3?
В среднем 13 попаданий из 20 бросков.
В среднем 1.2 выигрышных билета из 15.
Нужно проверить 60 изделий.