С1 · Слайд 1 из 12

Объёмы тел

Три семейства тел вращения и призм:

Призма и цилиндр
Пирамида и конус
Шар и его части
Два ключевых закона:
• Цилиндр / Призма: V = S · h
• Конус / Пирамида: V = 13 · S · h

S — площадь основания, h — высота тела

Призма Конус Шар
С1 · Слайд 2 из 12

Призма и цилиндр — V = S · h

Для прямоугольного параллелепипеда (a × b × c):

Для цилиндра (радиус r, высота h):

S — площадь основания (любая форма), h — высота (перпендикуляр к основанию)

a h b r h
С1 · Слайд 3 из 12

Пирамида и конус — V = 13 · S · h

Пирамида с квадратным основанием (a × a):

Конус (радиус r, высота h):

Объём конуса = 13 объёма описанного цилиндра той же высоты
a h h r
С1 · Слайд 4 из 12

Шар — V = 43 · π · R³

Полушар (половина шара):
Формула объёма шара зависит от R³ — не забудьте возвести в куб!
R Шар радиуса R
С1 · Слайд 5 из 12

Призма: прямая и наклонная

Формула V = S · h работает для любой призмы — и прямой, и наклонной.

Ключевое правило:
h — это перпендикулярное расстояние между основаниями,
а не длина бокового ребра!
У наклонной призмы боковое ребро l > высота h.
В формулу подставляем только h.

Принцип Кавальери: два тела с одинаковыми S и h имеют одинаковый объём

h
Прямая призма
h l
Наклонная призма
С1 · Слайд 6 из 12

Призмы с разными основаниями

Основание призмы — любой многоугольник. Формула объёма одна и та же:

V = S · h  ·  S — площадь основания, h — высота
h S = ½·a·b
Треугольная
h S = формула пятиугольника
Пятиугольная
h S = формула 7-угольника
Семиугольная
Какой бы формы ни было основание — считаем его площадь S и умножаем на высоту h
С1 · Усечённые тела

Усечённые тела

Если срезать верхушку пирамиды или конуса плоскостью, параллельной основанию, получится усечённое тело. Объём считается через оба основания:

Усечённая пирамида

S₁ — площадь нижнего основания
S₂ — площадь верхнего основания
h — высота (перпендикуляр)

h S₁ S₂

Усечённый конус

r — радиус верхнего основания
R — радиус нижнего основания
h — высота

h R r
Оба тела объединяет идея: при R₂ = 0 усечённая пирамида превращается в обычную; при S₂ = 0 — конус
С1 · Слайд 7 из 12

Формулы объёмов — сводка

ПРИЗМА
S — основание, h — высота
ЦИЛИНДР
r — радиус, h — высота
ПИРАМИДА
S — основание, h — высота
КОНУС
r — радиус, h — высота
ШАР
R — радиус
СЕГМЕНТ
h — высота, R — радиус шара
Мнемоника: Конус/Пирамида = 13 от «своего» цилиндра/призмы той же высоты
С1 · Слайд 8 из 12

Составные тела

1
Разбейте тело на простые части
Призму + пирамиду, цилиндр + полушар и т.д.
2
Найдите объём каждой части отдельно
Применяйте формулы к каждой фигуре
3
Сложите (или вычтите) объёмы
V = V₁ + V₂ + … или V = V_внеш − V_полость
Следите за совместными размерами: высота цилиндра ≠ высота всего тела, если сверху пирамида
½ шара цилиндр ½ шара
С1 · Слайд 9 из 12

Пример: капсула (цилиндр + шар)

УСЛОВИЕ Цилиндр радиуса R = 1,5 м и высотой h = 6 м. С обоих торцов — полушары того же радиуса.
РАЗБИЕНИЕ Цилиндр + 2 полушара = Цилиндр + 1 шар
ШАГ 1 — ЦИЛИНДР
ШАГ 2 — ШАР
ИТОГ
ОТВЕТ
1,5 м 6 м
С1 · Слайд 10 из 12

Пример ЕГЭ: шар опустили в стакан

УСЛОВИЕ В цилиндрический сосуд радиуса r = 6 см налита вода до краёв. Внутрь опустили шар радиуса R = 3 см. Сколько воды (в см³) вытечет?
ИДЕЯ Шар вытесняет воду, равную своему объёму (2R = 6 ≤ 2r = 12 — шар помещается).
РЕШЕНИЕ
ОТВЕТ
Вытекает ровно 36π ≈ 113 см³. Высота сосуда значения не имеет.
R=3 см r=6 см
С1 · Слайд 12 из 13

Серия С — Стереометрия

С1
Объёмы тел: призма, цилиндр, пирамида, конус, шар
С2
Площади поверхностей
С3
Вписанные и описанные фигуры
С4
Сечения многогранников
С5
Расстояния и углы в пространстве
С6
Задачи ЕГЭ — координатный метод
Запомните главное: Цилиндр/Призма → S·h, Конус/Пирамида → 13S·h, Шар → 43·πR³
С1 · Тренажёр

Объёмы — практика