Серия С · Параграф 2

Площади поверхностей

Полная поверхность = основания + боковая. Формулы для всех тел курса ЕГЭ.

Призма
Конус
Шар

Стрелки навигации внизу ↓

С2 · Слайд 2 из 12

Полная поверхность: из чего складывается

Полная поверхность тела — это сумма площадей всех его граней:

Sбок
Боковая поверхность — всё, кроме оснований
у призмы — прямоугольники; у конуса — «развёртка» сектора
Sосн
Основания — одно или два
у призмы и цилиндра — два; у конуса и пирамиды — одно
Ключевая идея: мысленно «разрезаем» тело и раскладываем плоско — получаем развёртку. Площадь развёртки = Sполн.
S осн S бок = 2πr · h S осн Развёртка цилиндра

Боковая грань цилиндра при развёртке — прямоугольник шириной 2πr и высотой h

С2 · Слайд 3 из 12

Прямая призма — площадь поверхности

Для прямой призмы:

1
Sбок = P · h
P — периметр основания, h — высота призмы
2
Sосн — площадь основания
зависит от формы: квадрат, треугольник, шестиугольник…
3
Sполн = Sбок + 2Sосн
два одинаковых основания
Пример: куб со стороной a.
a h b P = 2(a+b)
С2 · Слайд 4 из 12

Цилиндр — площадь поверхности

Sбок
= 2πr · h
развёртка — прямоугольник 2πr × h
Sосн
= πr²
каждое основание — круг радиуса r
Sполн
= 2πr(r + h)
стандартная формула ЕГЭ
Мнемоника: 2πr — длина окружности. Боковая поверхность = «лента» длиной 2πr, высотой h.

Формулу 2πr(r + h) легко вывести из Sбок + 2πr²

r h

Sбок = 2πr · h
Sполн = 2πr(r + h)

С2 · Слайд 5 из 12

Правильная пирамида — площадь поверхности

Боковая поверхность — несколько равных треугольников:

a
Сторона основания
для правильной n-угольной пирамиды
l
Апофема боковой грани
высота треугольной боковой грани — не ребро!
P
Периметр основания
P = n · a
Для квадратной пирамиды (основание a × a):
Апофема l ≠ ребро b. Апофема — перпендикуляр из вершины пирамиды на сторону основания.
a l b

l — апофема (высота грани)
b — боковое ребро

С2 · Слайд 6 из 12

Конус — площадь поверхности

l
Образующая конуса
l = √(r² + h²) — по теореме Пифагора
Sбок
= πrl
«сектор» при развёртке: угол φ = 360°·r/l
Sполн
= πr(r + l)
прибавляем площадь основания πr²
Аналогия с пирамидой:
Пирамида: Sбок = ½P·l
Конус: Sбок = ½·(2πr)·l = πrl
l h r

l — образующая: l = √(r² + h²)

С2 · Слайд 7 из 12

Шар и сфера — площадь поверхности

Площадь поверхности шара (сферы):

Открытие Архимеда:
Площадь сферы равна площади боковой поверхности описанного цилиндра (без оснований). Площадь «пояса» сферы равна площади соответствующего пояса цилиндра.
Формула S = 4πR² — из R² (не R³!). Объём — из R³. Не путать!

Для полушара: Sполн = 2πR² (сфера) + πR² (основание) = 3πR²

R S = 4πR²
С2 · Слайд 8 из 12

Все формулы — одним взглядом

Цилиндр
Прямая призма
Куб
Конус
Квадратная пирамида
Шар / Сфера
Общий паттерн: Sполн = Sбок + Sосн(ий). Для тел с двумя основаниями — прибавляем 2Sосн.
С2 · Слайд 9 из 12

Алгоритм: найти S поверхности

1
Определить тело
цилиндр, конус, шар, призма, пирамида?
2
Выписать нужные величины
r, h, l, a — что дано, что нужно найти через теорему Пифагора
3
Вычислить образующую / апофему
конус: l = √(r²+h²); пирамида: апофема l из теоремы Пифагора
4
Подставить в формулу
не забыть про π там, где есть окружность
5
Ответ: обычно через π
записывать вида «k·π» или десятичным числом
Чаще всего ошибка — перепутать l (образующую) и h (высоту) у конуса. В задаче могут дать l, а в формуле нужна l, а не h!

НАЙТИ АПОФЕМУ ПИРАМИДЫ

h a/2 l

НАЙТИ ОБРАЗУЮЩУЮ КОНУСА

h r l
С2 · Слайд 10 из 12

Разбор задачи: цилиндр

Задача. Цилиндр: радиус r = 3, высота h = 4. Найти Sполн.
Шаг 1 — образующая не нужна У цилиндра l = h (образующая = высота для прямого цилиндра)
Шаг 2 — боковая поверхность
Шаг 3 — основания
Шаг 4 — полная поверхность
Ответ
r=3 h=4
С2 · Слайд 11 из 12

Разбор задачи: конус

Задача. Конус: радиус r = 5, высота h = 12. Найти Sполн.
Шаг 1 — образующая
Шаг 2 — боковая поверхность
Шаг 3 — основание
Шаг 4 — полная поверхность
Ответ
h=12 r=5 l=13

Пифагорова тройка 5–12–13

С2 · Тренажёр

Площади поверхностей — тренажёр